Импульсная характеристика

Контрольная работа

«Многомерные и многосвязные системы»

 

Задание

Для многомерной системы, заданной матрицами А, В, С, получить:

1. Передаточную функцию ;

2. Частотную передаточную функцию ;

3. Годограф;

4. Импульсную характеристику ;

5. Переходную характеристику ;

6. ЛАЧХ ;

7. ФЧХ .

Составить структурную схему системы.

 

Дано:

 

;

;

.

 

Решение:

Передаточная функция

Рассматриваем линейную систему с постоянными параметрами:

 

,

.

 

Преобразуем по Лапласу матричные уравнения:

 

;                                                            (1)

,                                                                  (2)

 

где

 

;   ; 

 

– лапласовы преобразования координат состояния , выходных  и входных  сигналов.

Преобразуем уравнение (1):

 

 

Выносим за скобки:

 

 

где

 – единичная матрица.

Умножаем слева на обратную матрицу:

 

 

Откуда получаем:

 

.

 

Подставляем в уравнение (2):

 

 

Получаем:

 

 

Выражение  называют передаточной функцией системы.

Находим её:

 

Находим обратную матрицу:

 

 

Подставляем:

 

.

 

Частотная передаточная функция

Для получения частотной передаточной функции производим замену в передаточной функции :

 

,

 

получаем:

 

.

 

Выделим действительную и мнимую части:

 

,

 

для этого умножим числитель и знаменатель  на комплексно – сопряжённый знаменатель:

;

;

;

.

 

Годограф

Годограф – это график частотной передаточной функции  на комплексной плоскости при изменении частоты  от нуля до бесконечности.

Изменяя частоту, производим расчёт действительной  и мнимой  частей частотной передаточной функции.

Результат расчёта записываем в таблицу 1.

 

Таблица 1. Расчёт годографа

0	2,8750000	0,0000000	10	-0,0512719	0,4570747	200	-0,00018	0,020008
1	2,7230769	0,9846154	20	-0,0163435	0,2074170	300	-0,000078	0,013336
2	1,9500000	1,9000000	30	-0,0075500	0,1355448	400	-0,000044	0,010001
3	0,8344828	1,9862069	40	-0,0043030	0,1009350	500	-0,000028	0,008001
4	0,2250000	1,5500000	50	-0,0027705	0,0804792	600	-0,000019	0,006667
5	0,0130624	1,1611030	60	-0,0019302	0,0669441	700	-0,000014	0,005715
6	-0,0500000	0,9000000	70	-0,0014209	0,0573176	800	-0,000019	0,005000
7	-0,0645030	0,7269777	80	-0,0010893	0,0501171	900	-0,000009	0,004445
8	-0,0634615	0,6076923	90	-0,0008614	0,0445267	1000	-0,000007	0,004000
9	-0,0578113	0,5216604	100	-0,0006982	0,0400600	2000	-0,000002	0,002000

 

Можно построить график на комплексной плоскости – рис. 1.

 

Рис. 1. Годограф

 

Импульсная характеристика

Импульсная характеристика вычисляется как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции:

 

.

 

Найдём полюса передаточной функции:

 

 

Видим – полюса расположены в правой полуплоскости, а это значит, что процесс будет расходящимся.

Разложим передаточную функцию на простые дроби:

.

 

Используя табличные значения, находим:

 

,

.

 

Таким образом, получаем:

 

.

 

Изменяя время от нуля до 5 секунд, производим расчёт по формуле, результаты заносим в таблицу 2.

 

Таблица 2. Импульсная характеристика

	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
	-4	11,28	62,69	100,8	-167,1	-1236	-2395	2097	23854	54578	-15944

 

Строим график импульсной характеристики – рис. 2.

 

Рис. 2. Импульсная характеристика