Метод Ньютона и его решения систем нелинейных уравнений

ОПИСАНИЕ МЕТОДА.

Обобщим метод Ньютона, изложенный в пункте 1 для решения одного нелинейного уравнения, на решение систем нелинейных уравнений. При этом будем исходить из трактовки метода Ньютона как метода линеаризации.

Предположим, что исходя из начального приближения к решению построены приближения . Заменим в системе

(*)

каждую из функций линейной частью её разложения по формуле Тейлора в точке :

В результате придём к системе линейных алгебраических уравнений:

...............

имеющей в матричной форме записи вид:

. (2.1)

Здесь - матрица Якоби. .

Предположим, что матрица невырожденная, т.е. существует обратная матрица . Тогда система (2.1) имеет единственное решение, которое принимается за очередное приближение к решению . Таким образом, приближение удовлетворяет равенству:

, (2.2)

выражая из которого , выводим итерационную формулу метода Ньютона:

. (2.3)

Замечание.

Формула (2.3) предполагает использование трудоёмкой операции обращения матрицы, поэтому непосредственное её использование для вычисления в большинстве случаев нецелесообразно. Обычно вместо этого решают эквивалентную системе (2.2) систему линейных алгебраических уравнений:

(2.4)

относительно поправки . Затем полагают:

(2.5)

СХОДИМОСТЬ МЕТОДА.

Сформулируем основную теорему о сходимости метода Ньютона.

Теорема 3.

Пусть в некоторой окрестности решения системы (*) функции дважды непрерывно дифференцируемы и матрица невырождена. Тогда найдётся такая малая - окрестность решения , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка: