Теорема 1.
Пусть - простой корень уравнения , в некоторой окрестности которого функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдётся такая малая - окрестность корня , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка:
, , (1.6)
где , означающая, что метод сходится с квадратичной скоростью.
Следствием оценки (6) является априорная оценка:
, , (1.7)
в которой .
Так как (по определению простого корня), то в силу непрерывности функции и найдётся - окрестность корня, в которой при некоторых постоянных и выполнены неравенства .
Пусть , где . Подставляя в (1.4), получим равенство:
,
в котором . Вычитая из него равенство (1.2), имеем
.
Тогда, приравняв модули обеих частей этого равенства и используя условия ограниченности и , приходим к неравенству:
,
откуда следует справедливость оценки (1.6).
|
|
Таким образом, при выборе начального приближения из достаточно малой окрестности корня метод Ньютона сходится квадратично. Это означает, что на каждой итерации число верных цифр приближения примерно удваивается.
Приведённые в теореме 1 оценки погрешности являются априорными и их использование в практике вычислений для количественной оценки погрешности неэффективно или чаще всего невозможно.
КРИТЕРИЙ ОКОНЧАНИЯ.
На практике предпочтительнее использование простой апостериорной оценки:
, (1.8)
справедливость которой обосновывается следующим утверждением.
Теорема 2.
Пусть выполнены условия теоремы 1 и . Тогда для всех верна оценка (8).
Из оценки (1.7) следует, что . Поэтому, применяя неравенство (6), получим цепочку неравенств:
,
из которой вытекает оценка (1.8).
Наличие оценки (1.8) позволяет сформулировать следующий практический критерий окончания итерации метода Ньютона. При заданной точности вычисления нужно вести до тех пор, пока не окажется выполнимым равенство:
. (1.9)
Пример 1.
Используя метод Ньютона, найдём с точностью положительный корень уравнения .
Для имеем . Очевидно, что , т.е. -простой корень. Возьмём начальное приближение и будем выполнять итерации метода Ньютона по формуле:
.
Результаты первых итераций с 10 знаками мантиссы приведены в табл. 1.
Табл. 1
При вычисления следует прекратить, и после округления получим .
Сравнение результатов итераций со значением показывает, что приближения содержат 1, 3, 6 верных значащих цифр соответственно. Это подтверждает отмеченный ранее факт, что при каждой итерации метода Ньютона число верных значащих цифр примерно удваивается.
|
|
Пример 2.
Используя метод Ньютона, укажем итерационный процесс вычисления , где , - натуральное число.
По определению, - это неотрицательная величина, удовлетворяющая равенству . Таким образом, задача сводится к вычислению положительного корня уравнения , где . Итерационная формула метода Ньютона имеет вид:
. (1.10)