Розрахункові співвідношення

Коректуючі коди дозволяють підвищити завадостійкість і завдяки цьому зменшити необхідне відношення сигнал/шум на вході демодулятора при заданій імовірності помилки прийнятих символів. Величина, що показує в скільки разів (на скільки децибел) зменшується необхідне відношення сигнал/шум на вході демодулятора, завдяки використанню кодування, називається енергетичним виграшем кодування (ЕВК).

Канали зв'язку з завадостійким кодуванням і без нього зручно порівнювати, якщо в якості відношення сигнал/шум використати відношення середньої енергії сигналів, що витрачається на передачу одного інформаційного символу, до питомої потужності шуму = Р_ST_б / N₀.

Так, якщо в каналі зв'язку без кодування необхідне відношення сигнал/шум для забезпечення заданої ймовірності помилки дорівнює , а в каналі зв'язку з кодуванням – , то ЕВК буде визначатися

D= /  або D [дБ]= [дБ] –  [дБ].(5.1)

При декодуванні з виправленням помилок імовірність помилкового декодування кодових комбінацій Р _пд визначається за умови, що число помилок в кодовій комбінації на вході декодера q перевищує кратність помилок, що виправляються q _в:

,(5.2)

де Р (q) = p^q (1 – p) ^{n - q} (5.3)

– імовірність помилки кратності q;

(5.4)

– число сполучень із n по q;

р – імовірність помилки двійкового символу на вході декодера, розрахунок якої для гауссового каналу зв'язку з постійними параметрами розглянутий в розд. 4. В використаних там формулах замість  підставляємо k / n – враховуючи зменшення тривалості символів із-за введення в кодові комбінації додаткових символів при кодуванні і відповідне зменшення енергії сигналу на вході демодулятора.

Для переходу від ймовірності Р _пд до ймовірності помилки двійкового символу на виході декодера р _д достатньо врахувати принцип виправлення помилок декодером: декодер заборонену кодову комбінацію замінює найближчою дозволеною. Тому, якщо число помилок в комбінації q > q _в, але q £ d _min, то в результаті декодування комбінація буде містити d _min помилок (d _min – кодова віддаль). Оскільки помилки більш високої кратності малоймовірні, то остаточно можна вважати, що в помилково декодованій комбінації є d _min помилкових символів. У коректуючих кодів кодова віддаль d _min ³ 2 q _в + 1. Оскільки при помилковому декодуванні кодової комбінації 2 q _в + 1 символ із n помилковий, то перехід від Р _пд до р _д виконується за формулою

р _д = Р _пд (2 q _в + 1)/ n. (5.5)

Зв'язок між основними параметрами двійкових коректуючих кодів n, k і q _в встановлює верхня межа Хеммінга

2^{n – k} – 1 ³ .(5.6)

Для досконалих кодів нерівність (5.6) переходить в рівність і при цьому мінімізується число додаткових символів n – k при фіксованих значеннях n і q _в. Широке розповсюдження дістали циклічні коди Боуза-Чоудхурі-Хоквінгема (БЧХ). За параметрами вони близькі до досконалих кодів і разом з тим вимагають відносно простих схем кодерів та декодерів. У кодів БЧХ основні параметри пов'язані співвідношеннями:

k = n – mq _в,(5.7)

де m – найменше ціле, при якому задовольняється нерівність-рівність

m ³ log₂(n + 1). (5.7a)

З формул (5.2) – (5.7) слідує, що завадостійкість у каналі зв'язку з кодуванням і ЕВК складним чином залежать від параметрів коду n, k і q _в та відношення сигнал/шум . Крім того, один і той же ЕВК може бути досягнутий при різних значеннях n, k і q _в.