Обчислення інтегралів

Одна з найважливіших операцій – обчислення первісних і визначених інтегралів у символьному вигляді. Зауважимо, що визначений інтеграл може бути представлений як аналітичним, так і чисельним значенням. Для обчислення чисельних значень визначених інтегралів розроблено ряд наближених методів – від простих (прямокутників і трапецій) до складних, які автоматично адаптуються до характеру зміни підінтегральної функції f(x).

Для інтегрування в системі Mathematica використовуються наступні функції:

• Integrate [f, x] – повертає первісну (невизначений інтеграл) підінтегральної функції f по змінній х;

• Integrate [f, {x, xmin, xmax}] – повертає значення визначеного інтеграла з межами від x_min до x_max;

• Integrate [f, {x, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax },...] – повертає значення кратного інтеграла з межами від x_min до x_max по змінній х, від y_min до y_max по змінній у і т. д.

Для більш зручного вживання цих функцій, також як і для похідної і границі, існують кнопки з відповідними значками на палітрі Basic Math Assistant .

Приклади обчислення невизначених інтегралів представлені на рис. 2.3.1.

Тут вхідна комірка у першому прикладі представлена у форматі введення (Input-Form), а в інших прикладах – в стандартному форматі (StandardForm), при використанні палітри. При записі інтегралів останній формат кращий зважаючи на наочності, оскільки при цьому знаки інтеграла мають природний математичний вигляд.

Наступна серія прикладів (рис. 2.3.2) ілюструє обчислення визначених інтегралів звичайного виду та інтегралів з межами-функціями.

Система Mathematica має найширші можливості обчислення інтегралів. Ядро системи увібрало в себе формули інтегрування з усіх відомих довідників.

Mathematica здатна обчислювати навіть кратні інтеграли з фіксованими і змінними, верхнім або нижнім, межами.

На рис. 2.3.3 представлено обчислення декількох подвійних визначених інтегралів. Хоча обчислення подвійного інтеграла передбачено в синтаксисі функції Integrate, це не завжди дає результат. Як правило, обчислення кратних інтегралів краще виробляти, використовуючи послідовне обчислення однократних інтегралів, вкладених один в одного.

При обчисленні складних інтегралів, наприклад які не мають представлення через елементарні функції, система Mathematica 2 зверталася до своїх пакетів розширень в спробі знайти рішення, яке може бути представлене через спеціальні математичні функції. Mathematica наступних версій вже не акцентує увагу користувача на свої проблеми і, як правило, видає результат інтегрування. Однак деколи він може мати досить незвичайний вигляд (рис. 2.3.4).

Ці приклади наочно показують, що обчислення первісних в системі може дати результати, далекі від тривіального обчислення невизначених інтегралів, приведених у звичайних довідниках з математики. До речі, і при обчисленні тривіальних інтегралів результат може бути іншим, ніж у довідниках, із-за різних перетворень, застосованих для отримання кінцевих формул. Часом можуть знадобитися певні зусилля для отримання результату в заданій формі. Як підінтегральний вираз, так і результати обчислень можуть містити як елементарні, так і спеціальні математичні функції.

Необхідно зазначити, що результати символьного інтегрування в системах Mathematica різних версій нерідко різняться. Більше того, вони можуть різнитися і в межах однієї версії Mathematica, так як ядро системи постійно вдосконалюється. Звичайно більш пізні версії дають більш точні результати обчислень особливих інтегралів, хоча часом вони і виглядають більш складними і навіть незвичайними. Це говорить про необхідність вдумливо ставитися до одержуваних результатів.

Для обчислення чисельних значень визначених інтегралів використовується функція NIntegrate [f, {x, xmin, xmax}], яка повертає чисельне наближення інтеграла від функції f по змінній х в межах від x_min до x_max.

Вона має ряд опцій, які можна отримати, виконавши команду Options [Nlntegrate]. Наведемо приклади чисельного інтегрування (рис. 2.3.5).

Ці приклади показують, що функція NIntegrate з успіхом може застосовуватися для обчислення як однократних, так і багатократних визначених інтегралів, в тому числі зі змінними межами.