Побудова графіків поверхонь

 

Функція двох змінних z = f (x, у) утворює в просторі деяку тривимірну поверхню або фігуру. Для їх побудови доводиться використовувати координатну систему з трьома осями координат: x, у і z. Оскільки екран дисплея плоский, то насправді об'ємність фігур лише імітується.

Для побудови графіків тривимірних поверхонь в системі Mathematica використовується основна графічна функція Plot3D:

• Plot3D [f, {x, xmin, xmax}, {у, ymin, ymax}] – будує тривимірний графік функції f (х, у);

• Plot3D [{f, s}, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] – будує тривимірний графік, в якому висоту поверхні визначає параметр f, а затінення - параметр s.

На рис. 2.5.1 показаний приклад побудови поверхні, що описується функцією двох змінних cos (xу) при х і у, що міняються від -3 до 3.Поверхня будується у вигляді каркасу з прямокутними комірками з використанням функціонального забарвлення. Всі опції задані за замовчуванням.

 

Рис. 2.5.1. Приклад побудови поверхні

 

Поверхні, також як і графіки на площині, можна будувати по точкам та в параметричній формі використовуючи при цьому відповідні функції ListPointPlot3D і ParametricPlot3D.

Для модифікації тривимірних графіків можуть використовуватися численні опції та директиви. Їх застосування дозволяє будувати велику кількість графіків різних типів навіть при завданні однієї і тієї ж поверхні.

 

6. Розкладання функцій в ряди Тейлора і Маклорена

 

Одна із широко розповсюджених математичних задач – розкладання заданої аналітичної функції в степеневий ряд Тейлора щодо деякої вузлової точки з абсцисою х0.

Для розкладу в ряд використовуються наступні функції системи Mathematica:

Series [f, {х, х0, n}] – виконує розкладання в степеневий ряд функції f в околі точки х = х0 за ступенями (х-х0) ^ n;

Series [f, {х, х0, nх }, {у, у0, nу}] – послідовно шукає розкладання в ряд спочатку по змінній у, потім по х;

SeriesCoefficient [s, n] – повертає коефіцієнт при змінної n-го ступеня ряду s;

Суть розкладання функції в степеневий ряд добре видно з розкладу функції f (х) = , представленої на рис. 2.6.1 (вихідні комірки мають стандартний формат).

У першому прикладі розкладання йде відносно початкової точки х0 = 0, що відповідає спрощеному ряду Тейлора, який називається рядом Маклорена. У другому випадку розкладання йде відносно початкової точки х0, відмінною від нуля. Зазвичай таке розкладання складніше і дає велику залишкову похибку. Відповідно до прийнятої математичної символікою ця похибка позначається як О[x]i з показником ступеня, що вказує на порядок похибки.

 

Рис. 2.6.1. Приклад розкладу в степеневий ряд

 

Слід зазначити, що розкладання в ряд використовує особливий формат виводу, частиною якого і є член залишкової похибки. На рис. 2.6.2 показано розкладання в ряди Тейлора і Маклорена для декількох функцій.

 

Рис. 2.6.2. Приклади розкладу в раді Тейлора і Маклорена

 

Неважко помітити, що не всі функції розкладаються в ряд Маклорена, і відповідно в ряд Тейлора, системою Mathematica. Наприклад, не мають розкладання логарифм і квадратний корінь – вони повертаються в початковому вигляді.

Із-за особливого формату результати розкладання в ряд не можна явно використовувати для розрахунків (наприклад, для побудови графіка функції за даними її розкладу в ряд). Для усунення залишкового члена та отримання прийнятних для розрахунків виразів можна використовувати функції Collect і Normal. Нижче показані приклади застосування цих функцій.

 

Рис. 2.6.3. Приклади Видалення залишкового члена ряду

 

Похибка розкладання в ряд зростає із зростанням відхилення від вузлової точки. При великих відхиленнях навіть якісний опис функції може різко порушуватися - наприклад, монотонно зростаюча функція при обчисленні по розкладання в ряд може спадати або навіть прагнути до нескінченності. Для оцінки того, наскільки і в якій області вихідної точки розкладання в ряд адекватно розкладається функції, корисно побудувати на одному рисунку графік вихідної функції і графік вираження, відповідного отриманого ряду (без залишкової похибки). Іншими словами, потрібна графічна візуалізація розкладання в ряд.

Приклад графічної візуалізації розкладання в ряд представлений на рис. 2.6.4. На ньому добре помітно розбіжність за межами області, що примикає до оперної точці функції. Як зазначалося, похибка зменшується, якщо х0 = 0 (ряд Маклорена). На жаль, при великому числі членів ряду його поведінка стає важко передбачуваним, і похибка наближення катастрофічно наростає.

 

Рис. 2.6.4. Представлення синусоїдальної функції рядом Тейлора з графічною ілюстрацією його точності

 

Висновки

 

У результаті виконання курсової роботи було:

1. розглянуто програму навчальної дисципліни «Математичний аналіз» та самостійну роботу студентів по цій дисципліні;

2. розглянуто та проаналізовано сучасні СКМ;

3. розглянуто теоретичні аспекти системи Wolfram Mathematica;

4. продемонстровано обчислення границь функцій у WM;

5. продемонстровано обчислення похідних і інтегралів у WM;

6. продемонстровано побудову графіків на плоскості та у просторі в WM;

7. продемонстровано розкладання функцій в ряди Тейлора і Маклорена.

Розглядаючи програму навчальної дисципліни «Математичний аналіз» ми побачили, що дана дисципліна дуже широка і складна, вона охоплює великий об’єм матеріалу. Тому, приблизно 1/3 всіх годин відводиться на самостійну роботу студентів. Використання СКМ у самостійній роботі студентів при вивчені мат. аналізу дає змогу поєднати високі обчислювальні можливості з перевагами графічного подання інформації.

При розгляді сучасних СКМ прийшли до висновку, що на сьогоднішній день існує дуже велике різноманіття цих систем на будь-який смак. Починаючи від малих систем для шкільної освіти Derive і MuPAD, продовжуючи універсальними системами «для всіх» класу Mathcad і закінчуючи гігантами комп’ютерної алгебри – системами Mathematica та Maple. Особливе місце займає елітна матрична система MATLAB з пакетами її розширення. Всі ці системи широко використовуються на Заході, а останнім часом і у нас, у практиці шкільного, вузівського і університетської освіти.

Після розгляду теоретичних відомостей про систему Mathematica можна зробити висновок, що багаті чисельні і символьні можливості цієї системи, потужні графічні можливості (включаючи анімацію), вбудована мова програмування, велика довідкова система і зручні засоби побудови гіпертекстових зв'язків між документами роблять цю систему привабливою як для дослідницької та практичної діяльності, так і для навчання студентів.

Так як система Wolfram Mathematica дозволяє вирішувати широкий спектр завдань, то було продемонстровано лише основну частину можливостей цієї системи при вивчені математичного аналізу.

Підбиваючи підсумки всієї роботи, можна сказати, що сучасні СКМ слід розглядати не тільки як електронні довідники нового покоління, але і як системи для самонавчання та дистанційного навчання математики. Однак для цього вони повинні бути забезпечені грамотно складеними (насамперед у методичному відношенні) електронними уроками або книгами. У той же час, при відсутності таких уроків застосування математичних систем може мати негативні наслідки для освіти – небезпечна підміна навчання основам математики навчанням основам роботи з математичними системами.

Однак, працювати з сучасними СКМ просто, приємно і повчально. Завдяки цьому освоєння системи Mathematica сприймається учнями та студентами з великим інтересом, що служить спонукальним мотивом до їх впровадження в систему освіти, причому не тільки вищої, а й середньої.