Система трансляций Бравэ. Решётки Бравэ. Базис

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

                   СИММЕТРИЯ

                 Лекция 5

Лекция 5

СИММЕТРИЯ СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛА. ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА

Содержание

5.1. Система трансляций Бравэ. Решётки Бравэ. Базис.

5.2. Элементы симметрии кристаллических структур.

5.3. Теоремы о сочетании операций симметрии структур.

5.4. Пространственные группы симметрии.

5.5. Обратная решётка.

5.6. Основные формулы структурной кристаллографии.

Система трансляций Бравэ. Решётки Бравэ. Базис

Внутреннее строение кристаллов было предметом живого обсуждения уже в самом начале развития кристаллографии. В XVIII веке Р. Ж. Гаюи на основании того факта, что кальцит может раскалываться на сколь угодно мелкие ромбоэдры, высказал предположение, что кристаллы этого минерала построены из бес­численного количества мельчайших кирпичиков такого же вида.

Установление закона рациональности индексов, справедливого для всех кристаллов, только подтвердило тезис о том, что все кристаллы построены путем бесконечного повторения элементарной ячейки. Однако расширение зна­ний об атомной структуре вещества сделало не менее ясным и то, что элемен­тарную ячейку нельзя считать твердым кирпичиком Гаюи.

Атомы, входящие в элементарную ячейку, определяют состав получающегося кристалла, а их расположение в ячейке и их размеры – возникающую в ре­зультате роста морфологию кристалла. Поэтому легко понять причину отсутст­вия в кристаллах осей симметрии пятого, седьмого и более высоких порядков. Даже говоря только о плоскости, легко представить, что единственными фигу­рами, которыми можно правильно заполнить плоскость, могут быть только квадраты, прямоугольники, параллелограммы, равносторонние треугольники и правильные шестиугольники.

Геометрическая теория трехмерных структур этого типа была полностью разработана еще в прошлом столетии. Однако вплоть до конца первого десятилетия нашего века кристаллографы не могли изучать эти структуры непосред­ственно. Они хорошо сознавали, что это происходит из-за малого размера эле­ментарных ячеек по сравнению с длинами волн видимого света.

В 1912 г. М. Лауэ и его помощники впервые доказали, что рентгеновские лучи испытывают дифракцию, проходя через кристалл. Дифрагированный кристаллом пучок излучения образовывает на фотопластинке состоящий из тёмных пятен узор, симметрия которого непосредственно связана с симметрией кри­сталла, находящегося на пути этого пучка. Способ Лауэ как средство изучения кристаллических структур был с того времени усовершенствован и заменен другими методами.

 

Физические свойства кристаллов непосредственно связаны с атомной структурой и характером действующих в ней связей. Слабые связи делают вещество мягким, а твердость обусловливается преобладанием прочных ионных связей. Ещё большую твердость может дать гомеополярная связь, хороший пример которой мы видим в алмазе.

Частицы в кристаллических структурах располагаются в пространстве

за­кономерно, строго повторяясь в определённых направлениях. Геометрической схемой расположения частиц является кристаллическая решётка. Она строится на трёх основных некомпланарных трансляциях (или параметрах) решётки а, b, с (рис. 5.1). В зависимости от величин и взаимной ориентировки трансляций а, b, с пространственные решётки имеют различную симметрию. Симмет­рия кристаллической структуры ограничивает число возможных решёток. Ос­новные трансляции, а значит и решётка, должны соответствовать симметрии структуры кристалла.

 

 

Рис. 5.1.Некомпланарные векторы плоской сетки

 

Узлами кристаллической решётки называются точки пересечения трансляций, слагающих пространственную решётку. Узел может находиться: в центре одной частицы, в центре масс группы частиц, в промежутках между частицами. Три элементарные трансляции решётки a,b,c определяют элементарную ячейку (параллелепипед повторяемости). В 1848 г. О. Бравэ показал, что всё многообразие кристаллических структур можно описать с помощью 14 решёток Бравэ.

Каждая решётка Бравэ – это группа трансляций, характеризующих расположение материальных частиц в пространстве. Для выбора элементарной ячей­ки Бравэ используют следующие условия:

1) её симметрия должна соответствовать наиболее высокой симметрии кристалла (голоэдрии);

2) рёбра ячейки должны быть трансляциями решётки;

3) должна содержать максимально возможное число прямых углов или равных углов и равных рёбер;

4) должна иметь минимальный объём.

 

 

Рассмотрим плоскую сетку, в узлах которой находятся частицы (рис. 5.2). Условия для выбора элементарной ячейки должны выполняться последовательно от условия 1 к условию 4. Ячейка 5 – наименьшая по площади, не соот­ветствует симметрии решётки, нет прямых углов. Ячейки 2, 3, 4: соответствуют симметрии решётки, нет прямых углов, не удовлетворяют условию минимума площади (кроме 4). Ячейки 1 и 6 – удовлетворяют условию симметрии сетки, имеют максимально возможное число прямых углов. Но только ячейка 6 удов­летворяет при этом условию минимума площади. Заметим, что центрирован­ная ячейка 6 соответствует правилам выбора ячейки лучше, чем примитивная ячейка 4.

 

             

                        Рис. 5.2.Примитивные ячейки плоской сетки

 

Симметрия плоских сеток описывается 10 двумерными кристаллографическими точечными группами (1, 2, 3, 4, 6, m, mm2, 3m, 4mm, 6mm) (рис. 5.3 и 5.5) и 5 решётка­ми Бравэ (рис. 5.4).

Точечным группам 1, 2 отвечает косоугольная сетка с неодинаковыми сторонами ячейки: а =/ b; угол γ =/ 90°.

Точечным группам 4 и 4mm отвечает квадратная решётка:

а = b; угол γ = 90.

Точечным группам 3 и 3m, 6 и 6m отвечает гексагональная решётка с элементарной ячейкой в форме ромба: а = b; угол γ = 120.

 

Симметрия пространственных сеток описывается 14 решётками Бравэ (рис. 5.6).По характеру взаимного расположения основных трансляций все кристаллические решётки разбиваются на четыре типа: примитивные (Р), объёмноцентрированные (I), гранецентрированные (F), базоцентрированные (С, В, А). Сингонии характеризуются по примитивным ячейкам.

            

 

Рис. 5.3.Плоские кристаллографические точечные группы симметрии

 

 

 

 

 

Рис. 5.4.Пять плоских решёток Бравэ

 

 

В примитивной (Р) ячейке узлы решётки располагаются только по вершинам ячейки. Сложные решётки ещё имеют дополнительные узлы. В объёмноцентрированной (I) ячейке – один узел в центре ячейки; в гранецентрированной (F) ячейке – по одному узлу в центре каждой грани; в базоцентрированной (С, А, В) ячейке – по одному узлу в центрах пары параллельных граней.

 

Рис. 5.5. Элементы симметрии в некоторых точечных граппах

     

При определённых соотношениях между трансляциями решётки и углами между осями координат выгоднее пользоваться не примитивными решётками, а более сложными, которые лучше отражают симметрию кристалла. Приняв один из узлов пространственной решётки за начало координат, т. е. за узел с символом [[000]], можно найти все остальные узлы решётки с помощью трансляционной группы.

Трансляционная группа – совокупность основных трансляций элементарной ячейки. Трансляционная группа для примитивной Р–ячейки состоит из трансляций a, b, c, соответствующих рёбрам элементарной ячейки. Для всех остальных решёток нужно учитывать дополнительные трансляции.

Чтобы выделить в структуре элементарную ячейку, нужно найти три некомпланарные трансляции a, b, c, проверить, можно ли на этих трансляциях по­строить ячейку Бравэ, отвечающую правилам выбора ячейки Бравэ, проверить, все ли частицы структуры можно получить с помощью этих трансляций (рис. 5.6).