Пространственные группы симметрии

 

Пространственной группой симметрии называется совокупность всех возможных элементов симметрии кристаллической структуры. Пространственная группа симметрии характеризует симметрию структуры кристалла. Она отличается набором элементов симметрии и числом симметрично эквивалентных позиций. Точечная группа симметрии описывает симметрию внешней формы кристалла и его физических свойств.

Каждой точечной группе соответствует несколько пространственных групп. Из пространственной группы симметрии кристалла легко получить его точечную группу. Для этого нужно уничтожить все трансляции, превратить плоскости скользящего отражения в зеркальные плоскости, винтовые оси в поворотные оси симметрии и перенести все оставшиеся элементы симметрии в одну точку.

Вывести из точечной группы все соответствующие ей пространственные группы – задача сложная. Так, если в точечную группу входят оси 3- и 2-го порядков, то в пространственной группе эти оси могут быть 3-, 31-, 32-, 2- и 21-го порядков и возможны их сочетания. В 1890–1894 гг. одновременно и не­зависимо Е.С. Фёдоровым и А. Шенфлисом были выведены 230 пространст­венных кристаллических структур (230 «Фёдоровских групп симметрии»).

Правильная система точек – совокупность симметрично эквивалентных позиций (точек), связанных между собой симметричными преобразованиями пространственной группы. Она равносильна понятию простой формы для точечной группы. Правильная система точек характеризует геометрические зако­ны пространственного расположения структурных единиц в кристалле и уста­навливает число атомов разного типа, которые можно разместить в элементар­ной ячейке. Правильная система точек может быть общей и частной.

Общая правильная система точек получается, если исходная точка (и все эквивалентные ей точки) не соприкасается ни с одним элементом симметрии и лежит не на равных расстояниях от одинаковых элементов симмет­рии. Частная правильная система точек получается, если исходная точка ле­жит хотя бы на одном из элементов симметрии или отстоит на равных расстоя­ниях от одинаковых элементов симметрии. Кратность правильной системы точек равна числу точек в элементарной ячейке, симметрично эквивалентных друг другу; она аналогична числу граней простой формы (см. таблицу).

Таблица   Сопоставление понятий

 

Конечная фигура (многогранник)	Бесконечная фигура (структура)
1. Заданные точки (грани)	1. Заданные точки (центры масс структурных единиц)
2. Простая форма	2. Правильная система точек
3. Простые формы (общие и частные)	3. Правильные системы точек (общие и частные)
4. Число граней (число симметрично эквивалентных плоскостей, порядок точечной группы)	4. Кратность точек (число симметрично эквивалентных пози­ций в объёме элементарной ячейки)

Для обозначения пространственных групп применяют международные символы и символы Шенфлиса. Пространственная группа кристалла определяется с помощью рентгеноструктурного анализа. Распределение кристаллов по 230 пространственным группам крайне неравномерно. Практически боль­шинство изученных кристаллических структур описываются 30 – 40 пространст­венными группами. Для многих групп ещё не найдены представители.

Для примера рассмотрим некоторые пространственные группы. В триклинной сингонии возможны только примитивные ячейки Бравэ. Символ единственной пространственной группы этого класса Р1, содержащей один атом на ячейку: Р – прими­тивная, 1 – нет никаких элементов симметрии (кроме трансляций). Поместим в ячейку в произвольном месте точечную фигурку (просто точку – нельзя). Трансляция повторит эту фигурку в другой ячейке, а в самой ячейке эта фигур­ка не повторится (рис. 5.11). Следовательно, кратность системы равна 1.

 

 

Рис. 5.11.Правильная система точек группы Р1

 

Рассмотрим теперь структуру триклинной сингонии с элементарной ячейкой типа Р1, но содержащей другое число атомов (точек) на ячейку (рис. 5.12). В этой группе две правильные системы точек: общая и частная. Любая точка с координатами хуz повторится центром симмет­рии и даст точку с координатами xyz. На ячейку придётся две таких точки. Кратность общей системы равна 2. Точка, лежащая на любом из центров симметрии, не повторится в ячейке. Кратность частной системы равна 1.

 

 

 

Рис. 5.12.Правильная система точек группы Р1

 

   Каждая правильная система точек записывается латинскими буквами. Для примитивной ячейки Р1, согласно «Интернациональным таблицам», она записывается так: 1: (а) 000, (b) 00 ½, (с) 0 ½ 0, (d) ½ 00, (е) ½ ½ 0, (f) ½ 0 ½, (h) ½ ½ 0, (g) 0 1/2 1/2.

В классе триклинной сингонии нет никаких элементов симметрии. Простые формы могут быть только моноэдрами. В структуре кристаллов данного класса частицы симметрично повторяются с помощью трансляций. Простран­ственные группы других сингоний более сложные. Например, символ Р21/m оз­начает, что в примитивной моноклинной решётке есть винтовая ось 2₁, а пер­пендикулярно ей проходит плоскость зеркального отражения m.

 

 

Обратная решётка

Каждой кристаллической структуре соответствуют две решётки: прямая и обратная. Прямая кристаллическая решётка строится на векторах трансляций а, b, c, обратная – на векторах трансляций а*, b*, с*.

Прямая решётка является обратной по отношению к своей обратной решётке и наоборот.