Теоремы о сочетании операций симметрии структур

Полный набор элементов симметрии конечной фигуры (формы кристаллов) составляет одну из 32 точечных групп симметрии (классов симмет­рии). Полный набор элементов симметрии кристаллической структуры со­ставляет пространственную (Фёдоровскую) группу симметрии. Всего имеет­ся 230 пространственных групп симметрии. Они выводятся на основании тео­рем о сочетании операций симметрии структур.

Теорема 1. Последовательное отражение в двух параллельных плоскостях симметрии равносильно трансляции на параметр t = 2a, где а – расстояние между плоскостями.

Теорема 1а (обратная). Любую трансляцию можно заменить отражением в двух параллельных плоскостях, отстоящих друг от друга на расстоянии а = t/2, где t – параметр трансляции.

Теорема 2. Плоскость симметрии и перпендикулярная ей трансляция с па­раметром t порождают новые вставленные плоскости симметрии, параллельные порождающей, аналогичные ей по типу и отстоящие от неё на расстоянии t/2.

Теорема 3. Плоскость симметрии m и трансляция t, составляющая с плос­костью угол α, порождают плоскость скользящего отражения, которая будет параллельной порождающей плоскости и отстоящей от неё в сторону трансляции на величину (t/2)sin α. Величина скольжения вдоль порождённой плоскости равна tcos α.

Теорема 4. Отражение в двух пересекающихся плоскостях симметрии можно заменить вращением вокруг оси симметрии, совпадающей с линией пересечения этих плоскостей. Угол поворота вокруг этой оси равен удвоенному углу между плоскостями.

Теорема 4а (обратная). Простую или винтовую ось симметрии можно заменить парой плоскостей (простой или скользящего отражения) симметрии, пе­ресекающихся под углом, соответствующим порядку оси.

Теорема 5. Трансляция, перпендикулярная оси симметрии, создаёт ось симметрии такого же порядка, параллельную порождающей оси и смещённую на t/2 в направлении трансляции.