Дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов

Знание дисперсий и стандартных ошибок позволяет анализировать точность оценок, строить доверительные интервалы для теоретических коэффициентов, проверять соответствующие гипотезы. Наиболее удобно формулы расчета данных характеристик приводить в матричной форме. Попутно заметим, что три первые предпосылки МНК в матричной форме будут иметь вид:

 1 M(ε) = 0;

 2 D(ε) = σ2I;

 3 K(ε) = M(εεT) = σ2E.

Как показано выше, эмпирические коэффициенты множественной линейной регрессии определяются по формуле (2.18) 

Подставляя теоретические значения Y = Xβ + ε в данное соотношение, имеем:

Построим дисперсионно-ковариационную матрицу 

В силу того, что Хj не являются случайными величинами, имеем:

Напомним, что z′jj− j-й диагональный элемент матрицы Поскольку истинное значение дисперсии σ2 по выборке определить невозможно, оно заменяется соответствующей несмещенной оценкой

где m − количество объясняющих переменных модели. Отметим, что иногда в формуле (6.22) знаменатель представляют в виде n − m − 1 = = n − k, подразумевая под k число параметров модели (подлежащих определению коэффициентов регрессии). Следовательно, по выборке мы можем определить лишь выбороч-ные дисперсии эмпирических коэффициентов регрессии:

Sb2j= S2 z′jj = n−∑mei2−1 z′jj, j = 0, 1, …, m.          (2.23)   

Как и в случае парной регрессии, S = S2 называется стандартной ошибкой регрессии. Sbj = S2bj называется стандартной ошибкой коэффициента регрессии. В частности, для уравнения Y) =b0 +b1X1 +b2X2 с двумя объясняющими переменными дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов вычисляются по следующим формулам (Приложение В).Здесь r12 = rx1x2− выборочный коэффициент корреляции между

объясняющими переменными Х1 и Х2.