Особое решение и его связь с общим решением

Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

Особые решения не зависят от постоянной С.

Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.

Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение:

y = 3(y − sin x) + cos x. (1)

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что при любом С функция

y = (x + C) + sin x (2)

есть решение этого уравнения. Здесь семейство интегральных кривыхзадается с помощью функции

Ф(x, y,C) = y − (x + C) − sin x.

Для нахождения уравнения огибающей имеем систему

Ф(x, y,C) = y − (x + C) − sin x = 0

Ф (x, y,C) = −3(x + C) = 0

Отсюда x + C = 0, и y = sin x. Надо еще проверить, что последнее равенство задает огибающую.

Легко видеь, что при х=х кривые y = sin x и y = (x − x0)3 + sin x имеют общую в точке с абциссой