Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение

В каждой своей точке огибающая имеет общую касательную с некоторой интегральной кривой семейства Ф(х,у,С) и, следовательно, в каждой точке огибающей направление касательной совпадает с направлением поля в этой точке. Это и означает, что огибающая является интегральной кривой.

Теорема 1 (необходимое условие огибающей). Пусть кривая есть огибающая регулярного семейства Ф(х,у,С). Тогда, если при t=t из [, ] она касается кривой Ф(х,у,С)=0 (С [С,С ]) семейства Ф(х,у,С), то число х,у,С,где х =х(t), у =у(t), удовлетворяет системе уравнений:

Теорема 2( достаточный признак огибающей). Пусть семейство Ф(х,у,С) есть регулярное семейство и указана кривая у, заданная уравнениями и функция С=С(t) (<t<), причем величины x(t), y(t), C(t) при всех t из [, ] тождественно

удовлетворяют системе:

Если при этом: 1. кривая у задана в гладкой параметризации;

2. функция С(t) имеет непрерывную производную, неравную тождественно нулю, ни на каком участке из [, ];

то кривая у есть огибающая семейства Ф(х,у,С).

Нахождение кривых, подозрительных на особое решение по

Дифференциальному уравнению

Предположим, что правая часть уравнения у = (х,у), определена и непрерывна в некоторой области D и имеет в каждой точке этой области производную по у. Тогда, через каждую точку этой области проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения и, следовательно, уравнение у = (х,у) не имеет особых решений. Поэтому, при сделанных предположениях, особое решения уравнения у = (х,у) нужно искать только среди тех кривых, вдоль которых не ограничена.

Будем называть кривые, вдоль которых не ограничена, кривыми, подозрительными на особое решение. Найдя кривую, подозрительными на особое решение, нужно, во-первых, проверить, что она вообще является интегральной кривой, и, во-вторых, убедиться, что в каждой точке ее нарушается единственность решения. Если и то идругое имеет место, то кривая, подозрительными на особое решение, действительно будет особым решением.

-11-

Заключение

-12-

Список литературы:

1. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. 1967г.

2. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. 1988г.

3. Матвеев Н.М.Обыкновенные дифференциальные уравнения. 1996г.

-13-

Оглавление

Введение. --------------------------------------------------------------------------------------------------- 2

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка ------------------- 3

1.1. Геометрический смысл ---------------------------------------------------------------------- 3

1.2. Механический смысл ------------------------------------------------------------------------ 3

Общее и частное решение дифференциального уравнения первого порядка -------- 4

Особое решение и его связь с общим решением ---------------------------------------------- 5

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производных ----------------------------------------------------------------------------------------------- 5

Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение ------------------- 11

Нахождение кривых, подозрительных на особое решение по

Дифференциальному уравнению -------------------------------------------------------------------- 11

Заключение. ------------------------------------------------------------------------------------------- 12

Список литературы. -------------------------------------------------------------------------------- 13

-1-

ФГОУ ВПО «Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова».

Кафедра высшей математики.

Курсовая работа:

«Особое решение дифференциальных уравнений первого порядка».

Выполнил студент

группы ЭЭ-11-09