2020-01-14
553
Рассмотрим теперь случай, когда функция 
непрерывна на промежутке 
, а в точке 
терпит разрыв второго рода. В этом случае введение определенного интеграла на отрезке 
как предела интегральной суммы также невозможно. Дело в том, что отрезок разбить на 
частичных отрезков можно, но в этом случае первая частичная трапеция будет иметь бесконечную высоту и ее площадь вычислить невозможно. Однако, как и в случае с бесконечным интервалом интегрирования, здесь также существует выход. Необходимо искать площадь трапеции, левый конец основания которой приближается к точке 
.
Определение. Если существует конечный предел 
, то этот предел называется несобственным интегралом от разрывной функции 
и обозначается 
.
Следовательно, вычисление несобственного интеграла от разрывной функции связано с нахождением предела:
.
Так же как и в предыдущем параграфе, если этот предел существует, то интеграл называется сходящимся, если не существует или равен бесконечности, то – расходящимся.
С геометрической точки зрения несобственный интеграл от разрывной функции равен площади криволинейной трапеции, у которой в какой-то точке высота равна бесконечности.
Если функция 
терпит разрыв в точке 
, то
.
Если же разрыв происходит в точке 
, то есть внутри 
, то в этом случае
.
В последнем случае несобственный интеграл существует (или сходится), если сходятся оба интеграла.
Так же как и несобственный интеграл с бесконечными пределами, данный интеграл тоже не является пределом 
-ой интегральной суммы, а пределом определенного интеграла.
Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим пример, используемый при решении других задач.
Если в этом интеграле 
, то 
и поэтому 
. Следовательно, в этом случае 
.
Если 
, то 
. В этом случае 
и интеграл 
расходится. Аналогичный результат получается и в том случае, когда 
. Действительно,
.
Таким образом, рассмотренный интеграл расходится при 
и сходится при 
.
