Проектные решения по математическому обеспечению

Алгоритм СППР по подбору персонала представлен на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 − Алгоритм программы

Основу математического обеспечения будет составлять описание метода поддержки принятия решения, используемого в проектируемой АС – метода анализа иерархий (МАИ).

МАИ (версия Т. Саати).

Метод анализа иерархий является систематической процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решения, по парным сравнениям. В результате может быть выражена относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. Эти суждения затем выражаются численно. МАИ включает в себя процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений.

Этапы МАИ

1. Очертить проблему и определить, что мы хотим

2. Построить иерархию (цель, критерии, альтернативы)

3. Построить множество матриц парных сравнений для каждого из нижних уровней по одной матрице для каждого элемента примыкающего сверху уровня

4. Проверить индекс согласованности каждой матрицы

5. Использовать иерархический синтез для взвешивания собственных векторов весами критериев и вычислить сумму по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов уровня иерархии, лежащего ниже.

Иерархия есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием элементов некоторой вполне определенной группы и, в свою очередь, оказывают влияние на элементы другой группы. В МАИ считается, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем) независимы.

В данной модификации, как и в классическом варианте метода парных сравнений, производится сравнение изучаемых факторов между собой. Причем в данном методе факторы сравниваются попарно по отношению к их воздействию («весу», или «интенсивности») на общую для них характеристику. Пусть в конкретной задаче необходимо определить состав некоторого объекта. Причем пусть A1, A2,...,An основные факторы, определяющие состав объекта. Тогда для определения структуры объекта заполняется матрица парных сравнений.

	A1	A2	...	An
A1	1	a12		a1n
A2	a21	1		a2n
...			...
An	an1	an2		1

Если обозначить долю фактора Ai через w_i, то элемент матрицы a_ij= w_i/ w_j.

Таким образом, в предлагаемом варианте применения метода парных сравнений, определяются не величины разностей значений факторов, а их отношение. При этом очевидно a_ij= 1/a_ji. Следовательно, матрица парных сравнений в данном случае является положительно определенной, обратносимметричной матрицей, имеющей ранг равный 1.

В подобной постановке задачи решение проблемы состоит в отыскании вектора (w₁, w₂,..., w_n). Существует несколько различных способов вычисления искомого вектора.

Относительная сила, величина или вероятность каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице. Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению с помощью вычисления геометрической средней.

	A1	...	An
A1	1	...	W1/Wn	X1=(1(W1/W2)...*(W1/Wn))1/n	BEC(A1)=X1/СУММА(Xi)
...	...	1	An	...	...
An	Wn/W1	...	1	Xn=((Wn/W1)...(Wn/Wn-1)*1)1/n	BEC(An)=Xn/СУММА(Xi)
				СУММА(Xi)

Из линейной алгебры известно, что у положительно определенной, обратносимметричной матрицы, имеющей ранг равный 1, максимальное собственное число равно размерности этой матрицы (т.е. n). При проведении сравнений в реальной ситуации вычисленное максимальное собственное число l_max будет отличаться от соответствующего собственного числа для идеальной матрицы. Это различие характеризует так называемую рассогласованность реальной матрицы. И, соответственно, характеризует уровень доверия к полученным результатам. Чем больше это отличие, тем меньше доверие. Таким образом, эта модификация метода парных сравнений содержит внутренние инструменты позволяющие определить качество обрабатываемых данных и степень доверия к ним.

Для исследования уровня согласованности матрицы необходимо найти максимальное собственное число матрицы . Для этого определяется путем вычисления вектор-столбец (умножение матрицы на вектор) и находится как сумма его элементов.

Чем ближе к n (ранг матрицы А), тем более согласованной является матрица А. Для оценки уровня согласованности матрица А вычисляется отношение согласованности:

− индекс согласованности;

− стохастический коэффициент согласованности (определяется эмпирическим путем как среднее значение коэффициента ОС для большой выборки генерированных случайным образом матрицы А). Если ОС, уровень согласованности является приемлемым.

Рассмотрим пример расчета приоритетов кандидатов.

1. Зададим матрицу попарных сравнений приоритетов факторов и проверим ее на согласованность

	Кол-во лет на прошлой должности	Заслуги	Стаж	Возраст	Ранг прошлой должности
Кол-во лет на прошлой должности	1	5	3	4	1/2
Заслуги	1/5	1	1/2	1/2	1/10
Стаж	1/3	2	1	3	1/6
Возраст	1/4	2	1/3	1	1/8
Ранг прошлой должности	2	10	6	8	1

Проверим эту матрицу на согласованность, для этого

1.1 рассчитаем собственный вектор:

С достаточно хорошим приближением собственные числа можно вычислить как среднее геометрическое каждой строки и затем нормировать их от 0 до 1

Для нормирования коэффициентов рассчитаем их сумму а затем разделим каждый элемент на сумму:

w1…w5 – это и есть собственные числа исходной матрицы.

1.2 Рассчитаем

-Сумма произведений собственных чисел на суммы соответствующих столбцов исходной матрицы.

	Кол-во лет на прошлой должности	Заслуги	Стаж	Возраст	Ранг прошлой должности	w
Кол-во лет на прошлой должности	1	5	3	4	1/2	0,262
Заслуги	1/5	1	1/2	1/2	1/10	0,046
Стаж	1/3	2	1	3	1/6	0,1
Возраст	1/4	2	1/3	1	1/8	0,06
Ранг прошлой должности	2	10	6	8	1	0,52
	3,78	20	10,83	16,5	1,89

1.3 Рассчитаем Индекс согласованности (ИС) и отношение согласованности (ОС)

где n- размерность матрицы, n=5

Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, то получим ОС.

Для матрицы порядка 5 случайная согласованность равна 1,12

1.4 Оценка согласованности

Чтобы матрица являлась согласованной ОС должна не превышать 0,1

0,015<0,1 Следовательно заданная матрица согласованна и ей можно пользоваться для решения задачи.

2. Пример расчета приоритетов

Допустим необходимо подобрать сотрудника на должность начальника отдела кадров (ранг должности =2)

Иметься 3 кандидата:

1. – Сотрудник отдела кадров (на должности находиться 4 года, возраст 35 лет, стаж работы 15 лет, ранг должности 1, за время работы имеет 3 заслуги в сумме на 8 баллов)

2. – Начальник бухгалтерии (на должности находиться 2 года, возраст 42 года, стаж работы 20 лет, ранг должности 2, за время работы имеет 4 заслуги в сумме на 9 баллов)

3. – Временно не находящийся на должности (на должности 0 лет, возраст 25 лет, стаж работы 3 года, ранг должности 0, не имеет заслуг сумма баллов 0)

Расставим баллы каждому кандидату в соответствии со следующими нормами

Находиться на должности

Кол-во лет	Кол-во балов
Не более 1 года	1
2 года	2
От 3х до 5ти лет	3
Более 5ти лет	4
Не находиться на должности	1

Возраст

Кол-во лет	Кол-во балов
18-24	3
25-33	5
34-45	2
Более 45ти лет	1

Стаж работы

Кол-во лет	Кол-во балов
Не более 1 года	1
2-4	2
5-9	3
10-15	4
Более 15ти лет	5

Ранг прошлой должности

Ранг прошлой должности	Кол-во балов
Равен рангу требуемой должности	2
На 1 меньше ранга требуемой должности	3
более чем на единицу меньше чем ранг требуемой должности	1

Заслуги

Кол-во баллов за заслуги	Кол-во балов
0	1
1-3	2
4-10	3
11-20	4
Более 20	5

В результате получится

	Кол-во лет на прошлой должности	Заслуги	Стаж	Возраст	Ранг прошлой должности
Кандидат №1	3	3	4	2	3
Кандидат №2	2	3	5	2	2
Кандидат №3	1	1	2	5	1

Далее строим матрицы попарных сравнений заданных кандидатов для каждого фактора как отношение выставленных баллов (т.е по 1му фактору кандидат 1 предпочтительнее кандидата 2 в 3/2=1,5 раз) и рассчитываем вектор собственных чисел (они же приоритеты кандидата по заданному фактору) описанным выше способом

1. Кол-во лет на прошлой должности

	Кандидат №1	Кандидат №2	Кандидат №3	w
Кандидат №1	1	3/2	3	0,5
Кандидат №2	2/3	1	2	0,33
Кандидат №3	1/3	1/2	1	0,17

2. Заслуги

	Кандидат №1	Кандидат №2	Кандидат №3	w
Кандидат №1	1	3/3	3/1	0,43
Кандидат №2	3/3	1	3/1	0,43
Кандидат №3	1/3	1/3	1	0,14

3. Стаж

	Кандидат №1	Кандидат №2	Кандидат №3	w
Кандидат №1	1	4/5	4/2	0,37
Кандидат №2	5/4	1	5/2	0,45
Кандидат №3	2/4	2/5	1	0,18

4. Возраст

	Кандидат №1	Кандидат №2	Кандидат №3	w
Кандидат №1	1	2/2	2/5	0,22
Кандидат №2	2/2	1	2/5	0,22
Кандидат №3	5/2	5/2	1	0,56

5. Ранг прошлой должности

	Кандидат №1	Кандидат №2	Кандидат №3	w
Кандидат №1	1	3/2	3/1	0,5
Кандидат №2	2/3	1	2/1	0,33
Кандидат №3	1/3	1/2	1	0,17

В итоге чтобы подсчитать рейтинг каждого кандидата необходимо вычислить сумму произведений собственных чисел кандидатов на собственные числа соответствующих факторов

Рассмотрим расчет на примере приоритета 1го кандидата

	Кол-во лет на прошлой должности (w=0, 262)	Заслуги (0,046)	Стаж (0,1)	Возраст (0,06)	Ранг прошлой должности (0,52)	Обобщенный приоритет (П)
Кандидат №1	0,5	0,43	0,37	0,22	0,5	0,46
Кандидат №2	0,33	0,43	0,45	0,22	0,33	0,33
Кандидат №3	0,17	0,14	0,18	0,56	0,17	0,19