Основные операции над матрицами и их свойства

Реферат

 

 

на тему:

 

Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц.

 

Подготовил

учащийся 1КД гр.

Сергей Шрам

 

 

Краматорск

2003

 

Задачи линейной алгебры. Понятие матрицы. Виды матриц. Операции с матрицами. Решение задач на преобразование матриц.

 

 

При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.

В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки:

или

 

Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || a _ij ||, а иногда с разъяснением: А = || a _ij || = (a _ij), где (i = 1, 2,..., т, j=1, 2,..., n).

Числа a _ij, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a _ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца. В случае квадрат-ной матрицы

         (1.1)

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а₁₁  а₁₂ … a_nn идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называ­ется диагональ а_n1 а_(n-1)2 … a_1n, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

 

Основные операции над матрицами и их свойства.

 Прежде всего, договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Перейдем к определению основных операции над матрицами.

Сложение матриц. Суммой двух матриц A = || a _ij ||,  где (i = 1, 2,..., т, j=1, 2,..., n) и В = || b _ij ||, где (i = 1, 2,..., т, j=1, 2,..., n)  одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || c _ij || (і =1,2,..., т; j = 1, 2,...., п) тех же порядков т и п, элементы с_ij   которой определяются по формуле

 ,  где (i = 1, 2,..., т, j=1, 2,..., n)      (1.2)

Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:

 +  =  

Из определения суммы матриц, а точнее из формул (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения веществен-ных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: А + В = В + А,

2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A = || a _ij ||, где (i = 1, 2,..., m, j=1, 2,..., n) на вещественное число l, называется матрица С = || c _ij || (і =1,2,..., m; j = 1, 2,...., n), элементы которой определяются по формуле:

 ,   где (i = 1, 2,..., т, j=1, 2,..., n) (1.3)

Для обозначения произведения матрицыі на число используется запись С = l A или С = А l. Операция составления произ­ведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) сочетательным свойством относительно числового множителя: (l m) A = l (m A);

2) распределительным свойством относительно суммы матриц: l (A + B) = l A + l B;

3) распределительным свойством относительно суммы чисел: (l + m) A = l A + m A

Замечание. Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей B  дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись: С = A — В.

Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу С = A + (–1) В.

Произведение матриц или перемножение матриц.

Произведением матрицы A = || a _ij ||, где (i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n) имеющей по­рядки, соответственно равные т и n, на матрицу В = || b _ij ||, где (i = 1, 2,..., n, j=1, 2,..., р), имеющую порядки, соответственно равные n и р, называется матрица С = || c _ij || (і =1,2,..., m; j = 1, 2,...., р), имеющая порядки, соответственно равные т и р элементы которой определя-ются по формуле:

где (i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., p) (1.4)

Для обозначения произведения матрицыі А на матрицу В используют запись С = А × В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.

Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент c_{i j} стоящий на пвресечении і-й строки и j-го столбца матрицьі С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов і-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка.

× =

Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы А на матри-цу В:

1) сочетательное свойство: (А В) С = А (В С);

2) распределительное относительно суммы матриц свойство:

(A + B) С = А С + В С или A (В + С) = A В + А С.

Вопрос о перестановочном (переместительном) свойстве произведения матрицы A на матрицу В  имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и В одинакового порядка.

Приведем важные частные случаи матриц, для которых справедливо и переста-новочное свойство. Две матрицы для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято називать коммутирующими.

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диа-гональная матрица порядка п имеет вид

 

D =                 (1.5)

 

где d₁ , d₂ , …, d_n —какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. d₁ = d₂ = … = d_n то для любой квадратной матрицы А порядка п справедливо равенство А D = D А.

Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d₁ = d₂ = … = d_n = = d особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d = 1, называется единичной матрицей n -го порядка и обозначается символом Е. Вторая матрица получается при d = 0, называется нулевой матрицей n -го порядка и обозначается символом O. Таким образом,

 

E =                              O =

 

В силу доказанного выше А Е = Е А и А О = О А. Более того, легко показать, что

 

А Е = Е А = А, А О = О А = 0.       (1.6)

 

Первая из формул (1.6) характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножений вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство

А + 0 = 0 + А = А.

В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадрат-ных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равныї нулю).

Блочные матрицы

 Предположим, что некоторая матрица A = || a _ij || при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых представляет собой матрицу меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В таком случае возникает возможность рассмотрения исходной матрицы А как некоторой новой (так называемой б л о ч н о й) матрицыі А = || A _ab ||, элементами которой служат указанные блоки. Указанные элементы мы обозначаем большой латинской буквой, чтобы подчеркнуть, что они являются, вообще говоря, матрицами, а не числами и (как обычные числовые элементы) снабжаем двумя индексами, первый из которых указывает номер «блочной» строки, а второй — номер «блочного» столбца.

Например, матрицу

 

можно рассматривать как блочную матрицу

элементами которой служат следующие блоки:

      

 

      

Замечательным является тот факт, что основные операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, по которым они совершаются с обычными числовыми матрицами, только в роли элементов выступают блоки.