2020-01-14
139
Риc. 2.1.
Очевидно, что функция и(х), заданная выражением (2.13), всегда положительна (при положительных х) и удовлетворяет условию (2.10). В области малых х функция и(х) совпадает о функцией kx4/3, описывающей распределение потенциала в плоском диоде.
Коэффициенты а1, а2, полинома (2.13) выберем таким образом, чтобы удовлетворялось условие (2.12), а с помощью коэффициентов а3, а4, a5 удовлетворим условию (2.11).
С целью отыскания соответствующих коэффициентов а1, а2, найдемдля функции и(х), заданной выражением (2.13), приближенное решение уравнения (2.2), справедливое в области малых х.
При этом решение для функции j(х) будем искать в виде
| 5 | ||
| j(х) = 1 + S вn xn , | (2.15) | |
| n = 1 |
Из этого выражения следует, что значение j"(x) при х = 0 определяется значением в2. Поэтому для выполнения условия (2.12) необходимо найти такие значения коэффициентов an, при которых в2 обращается в нуль. С этой целью подставим выражения (2.13), (2.15) в уравнение (2.2) и, приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, выразим вn через an. Расчет показывает, что вn выражается через коэффициенты а1, а2 и для выполнения условия в2 = 0 эти коэффициенты должны вычисляться по следующим формулам:
|
|
|
| а1 = - | 8 | в1 ; | (2.16) |
| 15 |
| а2 = | 361 | в12. | (2.17) |
| 900 |
Как следует и (2.15), коэффициент в1 определяет значение первой производной от функции j(x) в точке x = 0, т.е. на катоде. Поэтому введем обозначение в1 = j¢k, с учетом которого формулы (2.16) и (2.17) запишутся:
| а1 = - | 8 | j¢k; | (2.18) |
| 15 |
| а2 = | 361 | ( j¢k )2. | (2.19) |
| 900 |
Этот расчет также показывает, что в области малых х коэффициенты к, в3, в4 связаны с постоянными коэффициентами i, а3, а4 следующими соотношениями:
| k = ( | 9 | i)2/3; | (2.20) |
| 4 |
| в3 = - | 33 | ( | 74377 | ( j¢k )3 + а3); | (2.21) |
| 37 | 222750 |
| в4 = 0,228771 ( j¢k )4 + 1,154518 j¢k в3 – 0,783582 а4 | (2.22) |
С помощью этих соотношений можно вычислить приближенное решение уравнения (2.2), справедливое в области малых х, если значения коэффициентов а3, а4 известны.
Теперь вычислим такие значения коэффициентов а3, а4, а5, при которых удовлетворяются условия (2.11). Для этого возьмем первую и вторую производные от функции и(х) и в точке х = 1 положим u( 1 ) = 1, u'( 1 ) = 0, u"( 1 ) = 0. Подучим систему трех уравнений, решая которую относительно а3, а4, а5, найдем:
| а3 = | 119 | ( | 9 | i)-1/3 – 10 + | 48 | j¢k – | 361 | (j¢k)2; | (2.23) |
| 9 | 4 | 15 | 300 |
| а4 = – | 187 | ( | 9 | i)-1/3 – 10 + | 64 | j¢k + | 361 | (j¢k)2; | (2.24) |
| 9 | 4 | 15 | 900 |
| а5 = | 77 | ( | 9 | i)-1/3 + | 24 | j¢k – | 361 | (j¢k)2 – 6. | (2.25) |
| 9 | 4 | 15 | 900 |
Уравнения (2.13), (2.18), (2.19), (2.23) – (2.25) определяют способ задания функции и(х), при котором выполняются как условия (2.10), (2.11), налагаемые на функцию и(х), так и условие (2.12), налагаемое на функцию j (х).
|
|
|
После того как определена функция и(х), можно приступать к решению внутренней задачи для электростатической электронной пуша, т.е. к решению уравнения (2.2).
Будем решать уравнение (2.2) с помощью ЭВМ при следующих начальных условиях: х = х 0; j = j 0; j ’ = j ’0
Значение параметра х 0 выберем малым (0,0001 + 0,01), а значения j 0 и j’ 0 для точки х = х0 вычислим в соответствии с (2.15) по следующим формулам:
| j0 = 1 + j¢k х0 + в3 х03 + в4х04; | (2.26) |
| j’0 = j¢k х0 + 3 в3 х02 + 4 в4х03. | (2.27) |
Значения коэффициентов в3, в4 в области малых х, должны вычисляться по формулам (2.21), (2.22), а входящие в них значения а3, а4, а5, определяются соотношениями (2.22) - (2.25).
Решение уравнения (2.2) c помощью ЭВМ будем проводить до точки xкр, в которой производная j’(х) обращается в нуль, т.е. до кроссовера пучка.
При решении внутренней задачи для электронной пушки необходимо задавать значения параметров i, j¢k. Параметр i, как следует из (2.4), характеризует первеанс рассматриваемой пушки. Параметр j¢k определяет радиус кривизны катода пушки (Rкp), который вычисляется по формуле:
| Rкp | = - | 1 | . | (2.28) | |
| l | j¢k |
Внешняя задача также решается с помощью ЭВМ. При этом с помощью уравнения (2.5) находится решение внешней задачи в криволинейной системе координат, а затем, решая уравнение (2.6), осуществляем переход к цилиндрической системе координат. При решении внешней задачи необходимо задавать параметр V = U / U0, где U - потенциал того электрода, форма которого вычисляется. При расчете геометрии прикатодного фокусирующего электрода значение параметра V полагается равным нулю, а при расчете формы анода пушки значение параметра V следует вычислять по формуле
| V = 1 + | m2i | (1 – ln в2), | (2.29) |
| 4 |
где в = rn / rk - коэффициент заполнения канала пучком; rn, rk - соответственно радиусы пучка и пролетного канала.
Выражение (2.29) характеризует провисание потенциала в трубе дрейфа прибора, заполненной пучком с микропервеансом Рm и коэффициентом заполнения в. Оно следует из уравнений (2.2), (2.5) с учетом (2.11).
После решения внутренней и внешней задач по описанной выше методике необходимо с помощью (2.28) вычислить радиус кривизны катода Rкp. Радиус катода, характеризующий площадь его эмитирующей поверхности, определяется точкой пересечения дуги радиуса Rк с графиком функции j (х).
Обобщим результаты решения внутренней задачи для электростатической пушки и составим методику расчета пушки с заданными значениями параметров.
Вследствие выполнения условия (2.12) функция j(х) в области малых значений х представляет собой прямую линию, образующую с осью х угол j¢k. Поэтому радиус катода rk можно вычислить в результате решения задачи о пересечении этой прямой с дугой окружности, радиус которой определяется выражением (2.28). Решив эту задачу, получим:
| rk | = | 1 | . | (2.30) | |
| l | Ö (j¢k)2 + (1 / m)2 |
Обозначим радиус пучка в кроcсовере rкр. Очевидно, что rкр определяется значением функции j(х) в кроссовере jkp и может быть вычислен с помощью выражения:
| rкр | = m jkp. | (2.31) | |
| l |
Введем понятие линейной сходимости пучка, определив ее как отношение радиуса катода rк к радиусу пучка в кроссовере rкр. Из уравнений (2.31), (2.30) для линейной сходимости электронного пучка получим следующее выражение:
| S = | 1 | . | (2.32) |
| jkp Ö 1 + (j¢k m)2 |
Зависимость jkp от j¢k, получена в результате решения внутренней задачи для различных значений параметра j¢k, лежащих в интервале 1,2 £ j¢k £ 2,4. При этом значение параметра i оставалось неизменным и равным 0,4. Вычисленная зависимость была аппроксимирована выражением
|
|
|
| jkp = 1,05 + 0,709 j¢k + 0,125 (j¢k)2. | (2.33) |
Подставляя (2.33) в (2.32), получим:
| S = | в | . | (2.34) |
| [1,05 + 0,709 j¢k + 0,125 (j¢k)2] ´ Ö 1 + (mj¢k)2 |
Уравнение (2.34) может быть использовано для вычисления значений параметра j¢k, при котором пушка формирует пучок с заданным значением сходимости S.
При создании методики расчета электростатической пушки будем считать заданными первеанс электронного пучка Рm, линейную сходимость электронного пучка S и коэффициент заполнения канала пучком в.
Для решения внутренней задачи необходимо задать значения параметров i, j¢k, а для решения внешней задачи - дополнительно значения коэффициента m и потенциалов V1, V2. Потенциал V1 определяет форму прикатодного фокусирующего электрода пушки, а потенциал V2форму анода пушки. Поэтому значение V1 положим равным нулю, а значение V2 вычислим по заданным значениям Рm и в с помощью формулы (2.29). Значение параметра i выберем равным 0,4. Значение параметра j¢k найдем по заданному значению S и вычисленному значению m с помощью уравнения (2.34). Это уравнение трансцендентное и решение его возможно лишь с помощью ЭВМ.
После того как значения параметров i, V1, j¢k, m определены с помощью ЭВМ, можно провести полный расчет пушки, формирующей пучок с заданными параметрами.
Такой алгоритм расчета реализован в программе «Синтез». Эта программа вычисляет геометрию электронной пушки для клистронов и ламп бегущей волны. Для вычисления необходимо задать три параметра:
Рm – микропервеанс электронного потока;
S – линейную сходимость электронного потока;
b – коэффициент заполнения пролетного канала электронным потоком.
В результате расчета определяется теоретическая и технологическая геометрия электронной пушки для клистронов и ламп бегущей волны.
