Общее утверждение, частным случаем которого является Великая теорема Ферма 4 страница

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность другим способом:

- => .

Следовательно, - =- => 2t = 4r ( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = 2r (32´) => в (16´) и (17´) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

Случай 11

(16)

(17)

(18)

(19´)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность другим способом:

- => .

Следовательно, =- => 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

Случай 12

(16´)

(17´)

(18´)

(19),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 11 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 11.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:

=> .

Следовательно, - = => 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

*******

Случай 13

(16)

(17)

(18´)

(19´)

Из (16) и (17) имеем:

Учитывая (14) и (19´), можно получить разность другим способом:

- => .

Следовательно, =- => 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

********

Случай 14

(16´)

(17´)

(18)

(19),

т.е. по сравнению с предыдущим случаем 13 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 13.

Действительно, из (16´) и (17´) имеем:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность другим способом:

=> .

Следовательно, - = => 2t = - 4r ( ≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.

***********

Вывод.

1. Таким образом, случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условие 1 (продолжение) нами полностью рассмотрено.

**********

Условие 2 (продолжение).

Ранее мы отмечали, что уравнение (15) симметрично для с и b, поэтому с и b могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство нами было названо «новым свойством ».

В 1-й части Утверждения 1 мы рассмотрели два «Новых» случая «+» и «-».

Осталось исследовать еще 14 случаев,рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).

********

«Новый» случай 15

( Отличающийся «новым свойством » от случая 1: с = С, b = -В, n = N, K)

с = - В ( 16-B ) ,

b = С ( 17+C),

n = N ( 18 ),

K ( 19 ) - это общие решения уравнения (15), окончательным видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решения уравнения (15) в случае 8, т.е.

(40´), (38´´),

, (33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Доказательство

Сумма имеет вид:

Учитывая (14) и (19), можно получить разность :

=> .

Выразим из (25) и (26) :

=> .

По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о., имеют вид:

, , а их сумма .

Т.к. из (8) , то => .

Из (19) с учетом (29) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

, выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь найдем сумму с :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для с:

т.к. из (29) вытекает .

Итак, .

Учитывая (34), получим => .

Теперь, с учетом (38´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):

, т.е. .

Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются (16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся окончательными решениями в случае 8):

, где - взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.

*********

Примечание

То, что окончательные решения в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и из следующего соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).

Случай 15. Случай 8

с = - В ( 16-B ), с = - С ( 16´ ) ,

b = С ( 17+C), b = В ( 17),

n = N ( 18 ), n = N ( 18 ),

K ( 19 ), K ( 19 ).

У этих случаев одинаковые знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В), в остальном эти случаи похожи.

Соображение

Если в этих случаях решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим свойством для них являются произведение и разность с и b.

«Общие свойства для с и b »:

сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b= 2К

Воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем:

с (- b ) = СВ, с+ (– b ) = -С -В = 2К.