2020-01-14
90
где 
,
т.е. 
(34´), 
(35´), выражения которых, с учетом (33´), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму 
:
т.к. 
, т.е. 
.
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), получим значение для b:
, т.к. из (29) вытекает 
.
Итак, 
.
Учитывая (35´), получим 
=> 
(
).
Теперь, с учетом (
), можно получить окончательное выражение для с (из (34´)):
, т.е. 
(39´´).
Таким образом, уравнение 
(15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19´), в конечном счете имеет следующие решения:
(39´´), 
(38´´), где 
- взаимно простые нечетные
, 
(33´), целые числа.
********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39´´), (37), (38´´) и (33´), т.е.
(39´´´), 
(38´´´), 
(37´), 
(33),
где 
- взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).
Ранее мы обозначили правые части уравнений (16),…, (19) буквами С, В, N, К, т.е
= С
= В
= N
= К
Тогда эти первые 4 случая следующие:
1. (16) 
2. (16´) 
(39´)
(17´) 
(37) (17) 
(37´)
(18) 
(18´) 
(38´)
(19) 
(33) (19´) 
(33´)
3. (16) 
(39´´) 4. (16´) 
(39´´´)
(17´) 
(37) (17) (37´)
(18) 
(38´´) (18´) 
(38´´´)
(19´) 
(33´) (19) 
(33)
*********
Рассмотрим еще 10 случаев.
5. с = С 6. с = - С 7. c = C 8. c = - C
b = - B b = B b = - B b = B
n= - N n = N n = - N n = N
9. с = С. 10. с = -С 11. с = С 12. с = -С
b = B b = -B b = B b = -B
n =- N n = N n = N n =- N
13. с = С 14. с = -С
b = B b =- B
n =- N n = N
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5
(16)
(17´)
(18´)
(19).
Тогда сумма 
имеет вид:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность 
:
=> 
.
Выразим из (25) и (26) :
=> 
=> 
.
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
, 
, а их сумма 
.
Т.к. из (8) 
, то 
=> 
.
Из (19) с учетом (29) выразим 
:
, т.е. 
.
Т.о., 
, 
, т.е.
,
выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность 
:
т.к. 
, т.е. 
(36´).
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:
где 
.
Т.к. b + c =2n, то b-2n = b - (b + c) = - c = -1 => c = 1 (40).
Учитывая (34), получим 
=> 
(38´).
Теперь, с учетом (38´), можно получить окончательное выражение для b ( из (35)):
, т.е. 
(41).
Таким образом, уравнение 
(15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19), в конечном счете, имеет следующие решения:
(41), 
, где - взаимно простые нечетные целые 
(40), 
(38´), числа
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38´´) и (33), т.е.
(40´), 
(38),
(41´), 
(33´), где 
- взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай7
(16)
(17´)
(18´)
(19´)
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19´), можно получить разность :
=> 
(26´).
Выразим из (25) и (26´) :
=> 
=> 
.
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель 
.
Т.о., имеют вид:
(30´), 
(31´), а их сумма 
.
Т.к. из (8) 
, то 
=> 
.
Из (19´), с учетом (29), выразим :
, т.е. 
(33´).
Т.о., 
, 
, т.е.
(34´),
(35´),
выражени я которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′) и (18´), найдем разность 
:
т.к. 
, т.е. 
(36´).
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32), найдем разность (b-n)-n:
где 
.
Т.к. b+c=2n, то b-2n = b-(b+c) = -c = -1 => c = 1 (40).
Учитывая (34´), получим 
=> 
(38´´´).
Теперь, с учетом (38´´´), можно получить окончательное выражение для b (из (35´)):
, т.е. 
(41´´).
Таким образом, уравнение 
(15), решениями которого являются (16), (17′), (18´) и (19´), в конечном счете, имеет следующие решения:
(40), (38´´´),
(41´´), 
(33´), где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 8
Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18´) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´), (38´´´) и (33´), т.е.
(40´), 
(38´´),
, 
(33), где 
- взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Вывод
Итак, после анализа полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15) 
, где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение в следующих целых числах:
а) 
; 
; 
; 
;
б) 
; 
; 
; 
.
А это в свою очередь означает, что и уравнение 
при вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь целые решения либо при , либо при 
.
Случай 9
(16)
(17)
(18´)
(19)
Из (16) и (17) имеем:
Учитывая (14) и (19), можно получить разность 
другим способом:
=> 
.
Следовательно,
= 
=> 2t = 4r (
≠ 0, т.к.в (26´´) с ≠ b ) => t = 2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых 
решений.
*********
Случай 10
(16´)
(17´)
(18)
(19´),
т.е. по сравнению с предыдущим случаем 9 здесь знаки перед скобками противоположные, а потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае 9.
