Общее утверждение, частным случаем которого является Великая теорема Ферма 1 страница

Работа Скворцова Александра Петровича,

Учителя, ветерана педагогического труда

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

Содержание

Общее утверждение

Утверждение 1

Доказательство Части первой «Утверждения 1»

Доказательство Части второй «Утверждения 1»

Пример

Примечание

«Вывод» о Великой теореме Ферма (простое)

Утверждение 2

Доказательство Части первой «Утверждения 2»

Доказательство Части второй «Утверждения 2»

Примечание

Окончательный «Вывод» о Великой теореме Ферма

Утверждение 3

Доказательство Части первой «Утверждения 3»

Доказательство Части второй «Утверждения 3»

Примечание

Общий вывод

Литература

Доказательство нижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В данной работе рассматриваются уравнения , частными случаями которых являются уравнения Ферма , где а – чётное число,   и  - целые числа, , ,  - =натуральные числа.

Метод, используемый в этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения  и его общего решения, чётность которого совпадает с числами, исследуемыми в моей работе.

Этот метод позволяет:

1. Судить о возможности существования целых решений уравнения Ферма для , т.е. о возможности существования «Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий» не возникает (доказательство этого в данной работе не приведено).

2. Судить об отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения , где  - натуральное число, а – чётное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия» (доказательство этого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. 33).

3. Судить о возможности существования частного решения уравнения   при ( илиb = ±1, или c = ±1 ), которое входит в п. «Исключения» моего общего «Утверждения». И такие решения следующие:

а) b = ±1; c = ±3; a = 2.

б) b = 3; c = ±1; a = -2 («Пример» на стр. 33).

4. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения , где а – чётное число. Это хорошо известный факт в теории чисел (доказательство этого в данной работе приведено).

5. Судить о неразрешимости в целых числах и уравнения Ферма . Это тоже хорошо известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

6. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения Ферма , где  - натуральное число. Это тоже уже известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

 

**********

 

Так как данное доказательство «Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, то думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом.

И последнее. Я думаю, что специалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частные случаи уравнения ), подпадающих под доказываемое в данной работе «Общего Утверждения». Если такие примеры имеются, то в свою очередь это будет являться дополнительным подтверждением правильности выбранного пути доказательства вышеназванного «Общего Утверждения».

≥

ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма

1. Уравнение  (,  - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел ,  и  может быть либо , либо .

***********

 

Чтобы доказать «ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ», необходимо рассмотреть2 случая

для показателя q:

1)  при  - натуральном;

2)  при  - натуральном, а для этого достаточно рассмотреть случай .

 

Утверждение 1, частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для простого показателя

 

Часть 1

Уравнение  (,  - натуральные числа, где  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

Часть 2

Возможны случаи: либо , либо .

**********

 

Последнее утверждение (либо , либо ) в дальнейшем будем называть «исключением» из общего правила.

 

*********

Часть первая (Утверждения 1)

Уравнение  (,  - натуральные числа, где  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

Доказательство

 

Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для  - простого.

Докажем данное «Утверждение 1» методом от противного. Предположим, что уравнение  разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и . И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа , и  не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1» справедливо.

Из уравнения (1) следует:

 (2),

 

где  - четное целое число, т.к. и - нечетные;

≠ 0, т.к.  и  - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;

- нечетное целое число при и - нечетных,  - простом.

 

********

Примечание

 

То, что  - нечетное число при и - нечетных, хорошо известный факт в теории чисел.

Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома

Ньютона , , , … и тогда получим для :

 - сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для :

 - сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для степени  - простой можно доказать, что при и  нечетных

(3)  - сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23).

*******

 

Пусть  (4),

 

где  - нечетное число (на основании (3)).

Тогда уравнение (2) примет вид:

 

 (5),

 

где  - четное число, которое можно представить в виде

 

 (6),

 

где  - целое число (при = 0 а = 0, что противоречит нашему допущению),

 

 (4) – нечетное число.

 

Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:

, т.е.   (7), где  - целое число (),  - натуральное число.

 Сумму же нечетных чисел  и  обозначим через , т.е.

 

 (8),

 

где  - целое число (, т.к.  и  - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).

Из (7) и (8) определим и :

 =>  =>  

 

Откуда (11) - нечетное число при - нечетном и  - четном, т.к. , причем (12)  (явно) при .

 

********

Вывод:

На основании (8) и (11) имеем: (13)  - нечетное число;

из соотношений (7) и (12) имеем: (14)  (явно) при .

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.

 

*******

 

Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и . Учитывая соотношения (9) и (10), получим:

 

 

Таким образом, получили следующее уравнение:

 

 (15),

где  - целые числа, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа  следующим образом:

 

(16)  - нечетное число при  - нечетном;

(17)  - нечетное число при  - нечетном;

(18)  - нечетное число при  - нечетном;

(19)  - четное число.

 

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать

t =0 и r=0 (при t =0  и - четные из (16) и (17), при r=0 = 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).

*******

Примечание.

 

Общий вид уравнения (15) следующий:

 

(20) ,

 

целыми решениями которого (это известный факт в теории чисел) являются:

 

(21) ;

(22) ;

(23) ;

(24) , где  - целые числа.

То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество.

 

*******

 

Для простоты обозначим правые части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.

= С

= В

 = N

 = К,

 

и рассмотрим с лучай, когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие 1.

Условие1 (начало).

с = С

b = B

n = N

Случай «+».

(16+) = С - нечетное число при  - нечетном;

(17+) = В - нечетное число при  - нечетном;

(18+) = N - нечетное число при  - нечетном;

(19+)  = К - четное число.

Казалось бы, все в порядке: четность  в (16+), …, (19+) совпадает при - нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.5)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (16+) и (17+):

 

,

 

т.е.  пропорционально 4, откуда следует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5), !

 

Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+»   является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18+)) при - четном.

Однако, если  - четное, то   (в (16+) и (17+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.