Метод касательных для решения уравнений

Вновь рассмотрим ситуацию отделенного на отрезке  корня уравнения. Будем предполагать, что функция   имеет разные знаки на концах этого отрезка, а ее первые две производные на этом отрезке знака не меняют. На нижеприведенной схеме первая и вторая производные функции положительны. В случае метода касательных уточнения корня также строится последовательность отрезков  и точек , сходящихся к корню. 

    Пусть = . Выберем тот край отрезка , на котором функция имеет тот же знак, что и ее вторая производная. В нашем примере на приведенной выше схеме - это точка b. Проведем через точку касательную к графику функции . Точку пересечения этой касательной с осью абсцисс и примем за точку c ₁. Вот соответствующая формула для рассматриваемого случая:

Нетрудно получить аналогичные формулы для случаев, когда знаки упомянутых выше значений иные. Важен принцип: касательная проводится к графику в той точке, где знак значения функции совпадает со знаком ее второй производной. После этого из двух отрезков  и  выберем тот, на концах которого функция имеет разные знаки и этот отрезок примем за . Затем найдем точку    по отрезку  точно так же, как нашли точку  по отрезку  и т.д. Через последовательность точек  приближенное значение корня находится так же, как в п.1.