Методика решения алгебраического уравнения

Мы остановимся здесь подробнее на методике решения алгебраического уравнения, т.е. уравнения вида: , левую часть которого будем обозначать также через ; напомним, что речь идет только о вещественных корнях.

При работе той или иной процедуры часто возникает необходимость вычислить значение при некотором ; организацию вычисления значения удобно проводить по схеме Горнера: строится рекурсия где , , так что .

Далее заметим, что из алгебры известно следующее: существует простая формула, по которой устанавливается интервал (-R,R) такой, что если уравнение имеет какой-либо (напоминаем: вещественный!) корень, то он оказывается внутри этого интервала, а именно:

, где .

Предположим теперь, что относительно производной многочлена известны интервалы ее знакопостоянства, т.е. такие точки , что на участках функция знак не меняет, а проходя через каждую из точек меняет знак. Нетрудно обосновать в этой ситуации следующие выводы: 1) если внутри интервала (-R,R) точек нет вообще и , то корней (напоминаем: вещественных!) у уравнения нет; если , то корень в интервале есть и его надо уточнить с заданной точностью; 2) если в интервале (-R,R) точки оказались, то надо просчитать в этих точках и в точках ; если среди этих значений нуля нет и все они имеют один и тот же знак, то корней (напоминаем: вещественных!) уравнение не имеет; если же среди этих значений будут числа с разными знаками, то это позволит выделить все участки, на концах которых имеет разные знаки, а внутри которых знак не меняет. К каждому такому участку применима процедура уточнения корня (деление отрезка пополам, методы хорд и касательных).

И еще одно замечание. Если вещественные корни (все) уравнения известны, то по ним полностью восстанавливаются участки знакопостоянства функции : надо просчитать между любыми двумя соседними корнями и по совокупности знаков полученных чисел сделать вывод.

Процедуру выяснения участков знакопостоянства производной можно организовать так. Вычислим производные многочлена : ; заметим, что производная - линейная функция. Поэтому участки ее знакопостоянства вычислимы. Если , то уже возможны формальные действия по описанной выше схеме по уточнению корней исходного уравнения. Если же , то решим по описанной выше схеме уравнение и по его корням установим участки знакопостоянства функции ; затем решим по описанной выше схеме уравнение и по его корням определим участки знакопостоянства функции и так далее, пока не окажется решенным исходное уравнение .

Полученная в процессе решения информация позволяет установить также и кратность каждого корня уравнения ; напомним, что корень уравнения считается имеющим кратность , если , но . В этом случае, как известно из алгебры, имеет место представление , где - многочлен степени .