2020-01-14
116
1. Постановка задач аппроксимации и интерполяции.
2. Основные понятия: интерполирующая и интерполируемая функции, условие интерполяции. Связь между числом узлов интерполяции и порядком интерполирующего многочлена.
3. Условие единственности решения задачи интерполирования.
4. Интерполяционный многочлен Лагранжа: назначение, область применения.
5. Методика выбора узлов интерполяции при использовании формул Лагранжа и Ньютона.
6. Способы оценки погрешностей интерполяции по формулам Лагранжа и Ньютона. Способы повышения точности интерполяции.
7. Интерполяционная формула Ньютона, область применения.
8. Конечные разности, их назначение и использование. Свойства конечных разностей.
9. Правило выбора начальных узлов интерполяции для формул Ньютона.
10. Практическое правило определения степени интерполяционного многочлена.
11. Сравнение интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.
12. Погрешность интерполяции.
Задание
1. Выбрать индивидуальное задание из табл. 2-1 и табл. 2-2:
· из табл. 2-1 выбрать значения узлов интерполяции x=a (для построения многочлена Ньютона) и x=b (для построения многочлена Лагранжа);
· для построения многочлена Ньютона узлы интерполяции выбираются самостоятельно из табл. 2-2. В соответствии с методикой выбора узлов интерполяции по значению x=a выбрать 5 узлов интерполяции, используя всю таблицу (область задания интерполируемой функции) и значения функции в этих узлах. Число используемых узлов определяется заданной степенью интерполяционного многочлена, однако для построения таблицы конечных разностей следует выбрать именно 5 узлов. Для интерполяции следует выбрать ту формулу Ньютона, которая обеспечит меньшую погрешность;
· для построения многочлена Лагранжа в табл. 2-1 уже заданы номера узлов интерполяции. Узлы выбираются из табл. 2-2 и затем перенумеровываются для обеспечения наименьшей погрешности интерполяции в заданной точке x=b.
2. Выполнить линейную, квадратичную и кубическую интерполяцию табличной функции (табл.2-2) при использовании полинома Ньютона:
· построить таблицу конечных разностей;
· построить интерполяционные многочлены в явном виде;
· вычислить значение интерполирующих многочленов Ньютона в точке x=a;
· провести оценку погрешности интерполяции по формулам практической оценки погрешности
3. Выполнить линейную, квадратичную и кубическую интерполяцию табличной функции (табл.2-2) с помощью полинома Лагранжа:
· построить интерполяционные многочлены в явном виде;
· вычислить значение интерполирующих многочленов Лагранжа в точке 
;
· оценить погрешности интерполяции по формулам практической оценки погрешности.
4. Для построенных в явном виде интерполяционных многочленов второй и третьей степени (Ньютона или Лагранжа) вычислить значения этих многочленов во всех выбранных узлах интерполяции. Сравнить полученные результаты с таблично заданными значениями.
Варианты задания
Таблица 2-1
| № вар | Вид интерполяционного многочлена | ||
| Многочлен Ньютона | Многочлен Лагранжа | ||
| x=a | x=b | Номера узлов | |
| 1 | 0.17 | 0.43 | 4,6,7,9,11,12 |
| 2 | 1.02 | 0.72 | 10,11,12,14,16,17 |
| 3 | 0.34 | 1.17 | 19,20,22,23,24,26 |
| 4 | 1.36 | 0.58 | 7,8,10,11,13,15 |
| 5 | 0.23 | 0.12 | 0,1,3,5,,6,7 |
| 6 | 0.67 | 1.21 | 21,23,24,26,27,28 |
| 7 | 1.29 | 1.46 | 24,25,26,28,29,30 |
| 8 | 0.81 | 0.87 | 13,15,16,18,20,21 |
| 9 | 0.06 | 0.48 | 6,8,9,10,12,14 |
| 10 | 1.12 | 1.37 | 23,24,26,28,29,30 |
| 11 | 0.93 | 0.51 | 6,8,9,10,13,14 |
| 12 | 0.37 | 0.96 | 16,18,19,20,22,23 |
| 13 | 0.26 | 0.64 | 8,9,11,12,14,15 |
| 14 | 1.07 | 1.52 | 24,25,27,28,29,30 |
| 15 | 1.33 | 0.77 | 10,12,13,14,16,17 |
| 16 | 0.43 | 0.17 | 0,1,2,4,6,7 |
| 17 | 0.72 | 1.02 | 16,18,19,21,22,24 |
| 18 | 1.17 | 0.34 | 2,4,5,6,8,9 |
| 19 | 0.58 | 1.41 | 23,24,26,27,29,30 |
| 20 | 0.12 | 0.23 | 0,2,3,5,6,7 |
| 21 | 1.21 | 0.67 | 10,11,12,14,16,17 |
| 22 | 0.87 | 1.29 | 22,24,25,27,28,29 |
| 23 | 0.48 | 0.81 | 12,14,15,17,18,19 |
| 24 | 1.38 | 1.26 | 21,23,24,26,27,29 |
| 25 | 0.51 | 1.12 | 18,19,21,22,24,26 |
| 26 | 0.96 | 0.93 | 15,17,18,19,21,22 |
| 27 | 0.64 | 0.37 | 3,5,6,8,9,11 |
| 28 | 0.77 | 0.26 | 2,4,5,7,8,9 |
| 29 | 0.08 | 1.07 | 17,18,20,21,23,24 |
| 30 | 1.31 | 1.33 | 21,22,24,26,27,28 |
Таблица 2-2
| № узла | Значение аргумента | Значение функции |
| 0 | 0.05 | -4.171 |
| 1 | 0.1 | -4.133 |
| 2 | 0.15 | -4.0845 |
| 3 | 0.2 | -4.024 |
| 4 | 0.25 | -3.95 |
| 5 | 0.3 | -3.861 |
| 6 | 0.35 | -3.7555 |
| 7 | 0.4 | -3.632 |
| 8 | 0.45 | -3.489 |
| 9 | 0.5 | -3.325 |
| 10 | 0.55 | -3.1385 |
| 11 | 0.6 | -2.928 |
| 12 | 0.65 | -2.692 |
| 13 | 0.7 | -2.429 |
| 14 | 0.75 | -2.1375 |
| 15 | 0.8 | -1.816 |
| 16 | 0.85 | -1.463 |
| 17 | 0.9 | -1.077 |
| 18 | 0.95 | -0.6565 |
| 19 | 1 | -0.2 |
| 20 | 1.05 | 0.294 |
| 21 | 1.1 | 0.827 |
| 22 | 1.15 | 1.4005 |
| 23 | 1.2 | 2.016 |
| 24 | 1.25 | 2.675 |
| 25 | 1.3 | 3.379 |
| 26 | 1.35 | 4.1295 |
| 27 | 1.4 | 4.928 |
| 28 | 1.45 | 5.776 |
| 29 | 1.5 | 6.675 |
| 30 | 1.55 | 7.6265 |
Содержание отчета
1. Индивидуальное задание.
2. Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция функции y=f(x), заданной таблично (табл. 2-2) методом Ньютона
· указать последовательность выбранных узлов из всей таблицы 2-2 (x0, x1, x2, x3, x4 для первой формулы Ньютона или xn, xn-1, xn-2, xn-3, xn-4 - для второй формулы Ньютона);
· построенная таблица конечных разностей;
· построенные линейный, квадратичный и кубический многочлены Ньютона в явном виде и их графики;
· записанные в табл. 2-3 значения интерполирующих многочленов Ньютона в точке x=a;
· записанные в табл. 2-3 значения погрешностей интерполяции по формулам практической оценки погрешности.
3. Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция функции y=f(x), заданной таблично (табл. 2-2) методом Лагранжа:
· исходная таблица заданных узлов интерполяции;
· таблица перенумерованных узлов интерполяции (перенумеровать последовательность выбранных узлов из предложенного диапазона x0, x1, x2, x3, x4 для обеспечения минимальной погрешности интерполяции);
· построенные линейный, квадратичный и кубический многочлены Лагранжа в явном виде и их графики;
· записанные в табл. 2-3 значения интерполирующих многочленов Лагранжа в точке 
· значения погрешностей интерполяции, вычисленные по формулам практической оценки погрешности, записанные в табл. 2-3.
Таблица 2-3
| Число узлов n+1 |
|
| Оценки погрешностей | |
Метод Ньютона
| Метод Лагранжа
| |||
| 2 | 
| 
| 
| 
|
| 3 | 
| 
| 
| 
|
| 4 | 
| 
| 
| 
|
4. Интерполяционные многочлены Ньютона или Лагранжа в явном виде и их значения во всех выбранных узлах интерполяции, записанные в табл. 2-4 и в табл. 2-5. Сравнить полученные результаты с таблично заданными значениями
Таблица 2-4
| xi | |||||
| P1(xi) | |||||
| P2(xi) | |||||
| P3(xi) | |||||
| P4(xi) | |||||
| y=f(xi) |
Таблица 2-5
| xi | |||||
| L1(xi) | |||||
| L2(xi) | |||||
| L3(xi) | |||||
| L4(xi) | |||||
| y=f(xi) |
2.5. Пример выполнения задания
