Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по формуле Лагранжа

Пусть функция y=f(x) задана таблично значениями в узлах интерполяции

Вычислим значение интерполяционного многочлена в точке х=b=5 по формуле Лагранжа:

Для обеспечения минимальной погрешности интерполяции перенумеруем узлы исходной таблицы. Определим отрезок, содержащий точку интерполяции: точка xx=b=5 находится внутри отрезка [4;6] и выберем из этого отрезка узел x₀, ближайший к точке интерполяции xx=b=5. В данном случае эта точка равноудалена от концов отрезка, поэтому за x₀ можно взять любой конец отрезка, например x₀=4. Тогда другой конец этого отрезка будет узлом x₁=6. Далее выбираем узлы, исходя из их близости к точке интерполяции и по возможности симметрично относительно точки интерполяции b=5.

Итак,

 x₀=4, x₁=6, x₂=2, x₃=9, x₄=1, x₅=10.

Таким образом, получаем таблицу перенумерованных узлов для построения интерполяционного многочлена Лагранжа с минимальной погрешностью в точке b=5:

Интерполяция по формуле Лагранжа с использованием Mathcad:

Исходная табличная функция для интерполяции:       Для интерполяции в точке хх=5 перенумеруем узлы и получим:        Линейная, квадратичная и кубическая интерполяция по формуле Лагранжа: Построение многочленов в явном виде и вычисление их значений в точке интерполяции хх= 5:  Л и н е й н а я и н т е р п о л я ц и я:   К в а д р а т и ч н а я и н т е р п о л я ц и я:   К у б и ч е с к а я и н т е р п о л я ц и я: Интерполяция по в с е м узлам (многочлен 4 степени):   Графики табличной и интерполирующих функций по формуле Лагранжа:   Оценку погрешности многочлена Лагранжа практически производят по формуле: Таким образом, погрешности многочленов Лагранжа равны      для линейной интерполяции:         для квадратичной интерполяции:         для кубической интерполяции:

Запишем в табл. 2-3 результаты интерполяции и оценки погрешности (здесь приведены результаты интерполяции только для первой формулы Ньютона):

Число Узлов n+1			Оценка погрешности
			Метод Ньютона	Метод Лагранжа | |
2	-0.5	17.5	7.5•10-3	2.125
3	-0.507	19.625	0.066	0.982
4	-0.574	18.643	0.084	1.029