Исследование задания для «ручного расчета»

· Для использования метода итерации необходимо привести уравнение f(x)=0 к виду . Тогда рекуррентная формула . Приведем уравнение  к виду x = (cos(x)+1)/3и проведем исследование.

Для сходимости процесса итерации необходимо, чтобы   при . Если  то сходимость не обеспечена. В приведенном примере условие сходимости выполняется и можно использовать итерирующую функцию  в рекуррентной формуле для уточнения корня методом итераций, что и будет показано ниже. Однако, в случаях, когда свободный х выразить не удается, или когда  целесообразно воспользоваться следующим приемом, позволяющим обеспечить выполнение условий сходимости.

Построим функцию  где параметр   может быть определен по правилу:

если то  

если  то       где .

Приведем пример выбора параметра λ и итерирующей функции. Для заданного уравнения исследовано, что

f `(x)<0, тогда .

f `(0)= -3, f `(1)=-3.841,

r = max{ |-3|, |-3.841| }=3.841, тогда 0<λ<0.26.

Полагаем λ=0.25. Тогда рекуррентная формула x_n+1 = φ(x_n),

где φ(x)= 0.25(1 - 3x + cos x) + x = 0.25(1+x+cos x).

· Выберем начальное значение (в методе итераций x₀– произвольное значение из отрезка [a;b] ), например, x₀=0, и с использованием итерационной функции  выполним три итерации.

· Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода итерации справедливо соотношение:

. Процесс итерации следует продолжать до тех пор, пока не выполнится условие останова: , где

 q=max |φ `(x)| на выбранном отрезке. Так как q= =0.28, условие останова будет . Если q <1/2, то можно использовать условие

Ручной расчет» трех итераций

Для получения решения уравнения методом итерации необходимо воспользоваться следующей рекуррентной формулой:  , =0

Результаты вычислений представлены в таблице 1-2b

Погрешность численного решения нелинейного уравнения

   Оценим погрешность результата после трех итераций:

 .

Метод Ньютона