Значения погрешностей численного решения дифференциального уравнения для каждого метода

Для сравнения выведем все полученные разными методами решения дифференциального уравнения и вычислим значения погрешностей каждого метода как разность между аналитическим (точным) решением и соответствующим численным решением в каждой точке табличной функции.

yt_i - аналитическое решение ОДУ, y1_i - решение ОДУ, полученное методом Эйлера, y2_i - решение ОДУ методом Рунге-Кутты 2-го порядка, y4_i - решение ОДУ методом Рунге-Кутты 4-го порядка

Запишем аналитическое (точное) решение ОДУ как дискретную функцию yt_i

Полученные решения:

Погрешности:

Графическая иллюстрация решений

В данном случае все численные решения ОДУ весьма близки к точному решению.

Лабораторная работа по теме

«Одномерная оптимизация»

Вопросы, подлежащие изучению

1. Постановка задачи одномерной оптимизации.

2. Методы оптимизации: метод дихотомии; метод золотого сечения.

3. Условия сходимости методов.

4. Оценка погрешности оптимизации.

5. Графическая иллюстрация процесса оптимизации.

6. Сравнение методов по точности, эффективности деления отрезка унимодальности, по числу итераций, по числу отсчетов исследуемой функции.

Задание

1. Выбрать индивидуальное задание по номеру варианта из табл. 5-1 для решения задачи одномерной оптимизации, т.е. функцию y(x), минимум которой необходимо найти.

2. Провести исследование индивидуального варианта задания:

· построить график функции y(x)

· выбрать начальный отрезок неопределенности (отрезок, содержащий точку минимума);

· проверить выполнение аналитического условия унимодальности функции на выбранном отрезке.

3. Провести «ручной расчет» трех итераций методом дихотомии и определить длину отрезка, содержащего точку минимума, после трех итераций. Результаты вычислений записать в табл. 5.2.

4. Провести «ручной расчет» трех итераций методом золотого сечения и определить длину отрезка, содержащего точку минимума, после трех итераций. Результаты вычислений записать в табл. 5.3.

5. Решить задачу оптимизации с помощью математического пакета.

Варианты задания

Таблица 5-1

№ вар.	y(x)	№ вар.	y(x)
1	– 2 (1 + x) e^–^x – 2 cos(x)	16	sin(e^x) – e^–^x + 1
2	(x – 1)	17	sin(x + 1) e^{2 /}^x
3	10 sin(x³) cos(-x)	18	– 5 x sin(x + 1) + 2 cos(x)
4	x²cos(x + 3) – 4	19	1 + sin(4x) / ln(x)
5	cos(x – 5) e²^x^{/ 3}	20	2 sin(4x) ln(– x) – 3
6	– 4 sin(x) + x^{1 / 2}	21	x^{3 / 2} – 2 x sin(x)
7	– 5 sin³(x) – cos³(x)	22	x sin(x) + cos(x) + 5
8	– cos(2x + 1) ln(2 / x) + 3	23	e^–^x sin(2x)
9	x sin(x + 1) – cos(x – 5)	24	sin(2x) – 2 sin(x)
10	(1 + x²)^{1 / 2} + e^–^x	25	sin(2x) – x
11	– 8 sin(- x³) e^–^x	26	cos(– 2x) e^–^x
12	5 e^–^x + 4 x + x³ / 3	27	e^–^x sin(– 2x)
13	sin(x – 1) – x cos(x + 3)	28	e^–^x cos(– 2x)
14	3 cos(x²) / ln(x + 5)	29	cos(x + 2) + cos(2x) + x
15	sin(x²) + 1 / (2 – x)	30	cos(2x) + 2 sin(x)

Содержание отчета

1. Индивидуальное задание.

2. Результаты исследования индивидуального варианта задания:

· график функции y(x);

· начальный отрезок неопределенности;

· результаты проверки аналитического условия унимодальности функции на выбранном отрезке.

3. Результаты «ручного расчета» методом дихотомии, представленные в табл. 5.2, и длина отрезка, содержащего точку минимума, после трех итераций.

Таблица 5-2

№ итерации	a	b	x₁	x₂	y(x₁)	y(x₂)
1
2
3

4. Результаты «ручного расчета» методом золотого сечения, представленные в таблице 5.3, и длина отрезка, содержащего точку минимума, после трех итераций.

Таблица 5-3