Ручной расчет» численного решения ОДУ методом Эйлера и оценка погрешностей полученного решения по методу двойного просчета

Найдем значения численного решения ОДУ методом Эйлера (функцию ye(x)) в первых 4-х точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5, т.е. на отрезке [1;3].

Для этого ОДУ записывают в виде y’=f(x,y).

Рекуррентная формула для определения очередного значения функции по методу Эйлера имеет вид: y_i₊₁=y_i+h×f(x_i,y_i), где , .

Таким образом, в нашем случае формула расчета имеет вид: , где i =0,1,2,3,4. Очередное значение аргумента функции рассчитывается по формуле .

Решение:

Задано ОДУ , с начальными условиями x₀=1, y₀=1 и шагом интегрирования h=0.5. Т.е. .

Расчет 4-х точек решения ОДУ методом Эйлера:

Таким образом, численное решение ОДУ методом Эйлера есть табличная функция ye(x):

x	ye(x)
1	1
1.5	2
2	2.75
2.5	3.477
3	4.196

Формула для оценки погрешности решения ОДУ методами Рунге-Кутты имеет следующий вид:

где p – порядок метода Рунге-Кутты. При этом в каждой точке х_i по формуле, соответствующей методу, производится расчет y_i с шагом h (y_i⁽^h⁾) и с шагом h/2 (y_i⁽^h^/2)). Расчет по приведенной формуле называется методом двойного просчета или правилом Рунге.

Выполним оценку погрешностей полученного методом Эйлера решения ОДУ по этому правилу. Для этого необходимо решить ОДУ с шагом h/2=0.25.

Найдем решение ОДУ , с начальными условиями x₀=1, y₀=1 и шагом интегрирования h=0.25

x₁=1.25 x₂=1.5 x₃=1.75 x₄=2 x₅=2.25 x₆=2.5 x₇=2.75 x₈=3

Оценим погрешность решения ОДУ методом Эйлера (или методом Рунге-Кутты 1 порядка, где p=1) по формуле: для каждой точки и сведем вычисления в таблицу:

x	ye(x)⁽^h)	ye(x)⁽^h/2)	R
1	1	1
1.25		1.5
1.5	2	1.917	0.083
1.75		2.308
2	2.75	2.687	0.063
2.25		3.059
2.5	3.477	3.427	0.05
2.75		3.792
3	4.196	4.155	0.041

Численное решение ОДУ методом Эйлера

Найдем значения численного решения ОДУ методом Эйлера (функцию y1(x)) во всех точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5 _, используя математический пакет Mathcad:

Решение методом Эйлера (Рунге-Кутты 1 порядка) - ф-ция y1: