Элементы векторной алгебры

 

Линейные операции над векторами

Вектор  - это отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

- длина вектора или модуль

Равенство векторов:

Сложение в кторов:  (с - вектор, соединяющий конец первого и начало второго векторов)

 

Вычитание векторов

(c – вектор, соединяющий конец второго и конец первого векторов)

 

Умножение вектора на число

, вектор b удовлетворяет условиям:

 

Скалярное произведение двух векторов

 

Свойства скалярного произведения

 

Скалярное произведение векторов в координатной форме

 

Скалярный квадрат вектора

Модуль вектора

Угол между векторами

Условие перпендикулярности векторов

Примечание: Все формулы, правила, определения и т.д. взяты из «Школьной шпаргалки», издательство АОЗТ «Бук- сервис», составитель О.М.Бекетова, 2004

 

Это интересно

 

Вот в чем соль

 

Формальное доказательство, предназначенное для проверки машиной, а не человеком, может иметь очень нестандартную форму, и с этим связаны поразительные результаты последних лет.

Традиционное математическое доказательство. Как и вывод в исчислении высказываний или в исчислении предикатов, подобно грузу, висящему на цепи. Каждое звено должно быть крепким: если одно звено рвется, то груз падает. Проверяя традиционное доказательство, математик или компьютер обязан убедиться в правильности каждого шага. А нельзя ли «проверить» доказательство, не читая его полностью? На первый взгляд идея кажется абсурдной. Но давайте рассмотрим следующую аналогию.

У нас имеется банка с сахарным песком (доказательство), но есть подозрение, что туда попала крупинка соли (ошибочное звено в доказательстве). Можно, конечно, перебрать все содержимое банки, пробуя каждую крупинку на вкус (традиционный метод проверки). Но можно поступить и иначе. Растворим все содержимое банки в воде и проведем химический анализ одной капли. Если он обнаружит соль, то «доказательство было ошибочно». Если же во взятой на пробу капле воды молекул соли не обнаружится, то еще нет гарантии, что крупинки соли вообще не было – вдруг в момент взятия капли все молекулы соли переместились в другую часть банки. Однако сравнение количества крупинок в банке с количеством молекул в крупинке показывает, что это крайне мало вероятно.

Для формализованных математических доказательств удалось придумать подобный «растворитель». А именно: произвольное традиционное доказательство ∆ можно преобразовать в нетрадиционное доказательство Н («с водой», и потому более длинное). Проверка всего доказательства Н гарантирует правильность теоремы. В то же время, если теорема не верна, то почти любая часть доказательства Н окажется неправильной («солоноватой»). Так, если наугад выбрать фрагмент Н, имеющий некоторую длину I, то ошибочность Н будет обнаружена по данному фрагменту с некоторой вероятностью p, зависящей от I, но не от длины Н. Пусть даже p не велико, скажем p = ½. Если n раз повторить проверку, всегда выбирая новый фрагмент наугад, то вероятность не обнаружить ошибку (если она на самом деле имеется) составит не более 2^-n. Уже при n = 100 эта вероятность, 2^-100, гораздо меньше вероятности аппаратного сбоя компьютера и тем более много меньше вероятности ошибки, допущенной человеком.

Для подобных с некоторой вероятностью проверяемых доказательств было предложено несколько названий, одно из них – голографические. Подобно тому как даже маленький фрагмент голограммы содержит информацию обо всей «картинке», небольшой «кусочек» ошибочного голографического доказательства почти наверняка сам содержит ошибку[6]