2020-01-14
116
Пределы
Теоремы о пределах
Производные. Простейшие производные
Производная – это скорость роста функции
- это угловой коэффициент касательной (геометрический смысл)
- есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента,
когда приращение аргумента стремится к нулю 
(с) ́ = 0
(x) ́ = 1,
(xn)´= nx n-1
(1/ x) ́ = - (1/x2)
(ln x) ́ = 1/x
(lg x) ́ = lg e ·(1/x)
(ax) ́= ax ln a
(ex) ́ = ex
(sin x) ́ = cos x
(cos x) ́ = - sin x
(tg x) ́= 1/ (cos2 x) = sec2 x
(ctg x) ́ = - 1/ (sin2x) = - cosec2 x
(arcctg x) ́ = - 1 / (1+x2)
(sec x) ́ = sec x tg x
(cosec x) ́ = - cosec x ctg x
Исследование функции с помощью производной
Функция возрастает ó производная положительная.
Функция убывает ó производная отрицательная.
Функция достигла max или min ó производная обратилась в ноль.
Если производная изменила свой знак с «+» на «-», то функция достигла max.
Если производная сменила свой знак с «-» на «+», то функция достигла min.
Если производная свой знак не изменила, то экстремума нет.
|
|
|
Критические точки – точки, в которых производная обращается в ноль.
Уравнение касательной – f(x) = f(a) + f ́(a)(x-a)
Дифференциал
Дифференциал функции – линейная часть ее приращения.
dy = y ́ dx
Простейшие свойства дифференциала
1. d(cu) = c du, c – пост.
2. d(u+v)= du + dv
3. d (uv) = u dv + v du
4. d (u/ v) = (v du – u dv) / v2
Правила дифференцирования
1. (u + v) ́ = u ́ + v ́
2. u (ax) ́= au ́ (ax)
3. (λu) ́= λu ́, λ – пост.
4. (un) ́= nun-1u ́
5. (uv) ́ = u ́v + uv ́
6. (u(v)) ́ = u ́(v) 
v ́
7. (u/v) ́ = (u ́v – uv ́) / v2
Интеграл и первообразная
Интеграл – это площадь криволинейной трапеции (геометрический смысл)
Интеграл – это предел интегральных сумм.
Интеграл – это приращение первообразной.
Таблица первообразных
| Функция y= f(x) | Первообразная y = f(x) |
| 0 | C |
| 1 | x |
| xr, r ≠ -1 | 
|
| ln |x| |
| sin x | -cos x |
| cos x | sin x |
| -ctg x |
| tg x |
| ex | ex |
| ax (a > 0, a ≠ 1) | 
|
| xp, p ≠ -1 | 
|
 , x> 0
| ln x + C |
| ex | ex + C |
| sin x | -cos x + C |
| cos x | sin x + C |
| (k x + b) p, p ≠ - 1, k≠ 0 | 
|
| 
|
| e kx +b, k≠ 0 | 
|
| sin (kx + b), k≠0 | 
|
| cos (kx + b), k≠0 | 
|
Свойства интеграла
Площадь произвольной фигуры
Объем тела вращения
где S(x) - площадь сечения, проведенная через точку х.
Интегралы от некоторых тригонометрических функций.
Логарифмы
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где 
, a 
, называется
показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.
Всякое положительное число (не ≠ 1) по любому основанию имеет единственный логарифм.
При любом положительном основании отрицательные числа не имеют логарифма.
|
|
|
При любом a loga1 = 0, так как a0 = 1
logaа = 1, так как а1 = a.
Логарифмирование
log(ab) = log a + log b,
log (a/b) = log a – log b,
log a m = m log a,
log 
= (log a) / m
