Обратные тригонометрические функции

 

Обратной тригонометрической функцией y = arcsin x, называют дугу (угол) у, взятую в отрезке , синус которой равен x.

y = arcsin x и sin y = x - равенства эквиваленты

y = arccos x и cos y = x – равенства эквиваленты

y = arctg x и tq y = x - равенства эквиваленты

y = arcctg x и ctg y = x – равенства эквиваленты

 

Значение тригонометрических функций некоторых углов

 

α	00	300	450	600	900	1200	1800	2700	3600
sin α	0				1		0	-1	0
cos α	1				0		-1	0	1
tg α	0		1		∞		0	∞	0
ctg α	∞		1		0		∞	0	∞
sec α	1			2	∞	-2	-1	∞	1
cosec α	∞	2			1		∞	-1	∞

Геометрия

 

Треугольник

 

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, попарно соединенных  и не лежащих на одной прямой.

 

Равносторонний треугольник - треугольник, у которого все стороны равны

c-сторона;

H -высота;

S- площадь.                                                  

 

 

  Равнобедренный треугольник  -  треугольник, у которого две боковые стороны равны.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины к основанию,  является высотой и биссектрисой.

 

Прямоугольный треугольник

а,b-катеты;

с-гипотенуза;

α,β-острые углы;

с²=а²+b²;

α+β=90˚;

S-площадь.

Решение прямоугольных треугольников

 

a,b - катеты c - гипотенуза, < α + < β = 90⁰ (острые углы)

a= c sin α; a = b tg α; b = c cos α; b =a ctg α; b = a tg β

c = a/ sin α; c = b / sin β;

a² + b² = c² - теорема Пифагора

 

Основные теоремы и формулы о соотношениях между элементами треугольников

 

Сумма внутренних углов треугольника: A+B+C= π = 180⁰

Теорема синусов:

Теорема косинусов: a² = b² + c² – 2bc cos A

 

Квадрат

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

 a-сторона;

d-диагональ;

S-площадь.

S = a²

Ромб

 

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

с-сторона;

D-большая диагональ;

d- малая диагональ;

S-площадь.

 

Трапеция

 

Трапеция – четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны, а две другие не параллельны.

a,b-параллельные стороны, или основания;

h-высота;

S-площадь.

 

Правильный n-угольник

 

Правильный многоугольник – многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

с-сторона;

α-апофема

Апофема - перпендикуляр, проведенный

из центра многоугольника.

S-площадь.

 

 

Сторона α_n правильного вписанного многоугольника

 

 

r-радиус окружности.

 

Круг

 

С-длина окружности;

d-диаметр;

r-радиус;

S-площадь.

С=πd≈3,142d;

С=2πr≈6,283;

 

Часть круга	Длина дуги	Площадь
½ круга ¼ круга ⅙ круга	3,142r 1,571r 1,047r	1,571 r2 0,785 r2 0,525 r2

 

Круговое кольцо

 

D-большой диаметр;

d- малый диаметр;

R - большой радиус;

r - малый радиус;

S – площадь

δ = D - d.

 

 

Призма

h-высота;

p- периметр оснований;

V-объем;

S-площадь основания;

S_бок - боковая поверхность.

V= Sh;

S_бок =ph.

Пирамида правильная

 

α – апофема;

h-высота;

ρ-периметр оснований;

V-объем;

S-площадь оснований;

S_бок –боковая поверхность.

;

 

 

Усеченная пирамида

 

α – апофема;

h-высота;

p₁, p₂ –периметры оснований;

V- объем;

S₁, S₂ –площади нижнего и верхнего оснований;

S_бок –боковая поверхность.

 

 

Цилиндр

h-высота;

r- радиус основания;

d-диаметр основания;

V-объем;

S-площадь основания;

S_бок –боковая поверхность.

 

 1.5.12 Конус

 

С-длина окружности основания;

d-диаметр;

r-радиус;

L-образующая конуса;

h-высота;

V-объем;

S-площадь основания;

S_бок –боковая поверхность.

Усеченный конус

 

h-высота усеченного конуса;

H-высота полного конуса;

r-радиус малого основания;

R-радиус большого основания;

d-диаметр малого основания;

D-диаметр большого основания;

L-образующая усеченного конуса;

V-объем;

S_бок –боковая поверхность.

1.5.13 Шар

 

D, R-диаметр и радиус шара;

r₁, r₂-радиусы оснований;

h - высота.

 

Поверхность	Объем
4πR2; πD2.
Шаровой сегмент
2πRh; π(r2 + h2)
Шаровой сектор
πR(r+2h)