BinarySearch(list.target,N) list список для просмотра target целевое значение N число элементов в списке

Лабораторная работа 8.

Тема: Алгоритмы поиска и выборки.

Задания:

1. Написать программу реализующую алгоритм последовательного поиск целевого значения из выборки N чисел (использовать любой язык программирования).

2. Написать программу реализующую алгоритм двоичного поиска целевого значения из выборки N чисел (использовать любой язык программирования).

3. Провести анализ наихудшего и среднего случаев.

4. Оформить отчет в MS Word и показать работающую программу преподавателю.

Теоретический минимум.

Алгоритмы поиска и выборки

Поиск необходимой информации в списке — одна из фундаментальных задач теоретического программирования. При обсуждении алгорит­мов поиска мы предполагаем, что информация содержится в записях, составляющих некоторый список, который представляет собой массив данных в программе. Записи, или элементы списка, идут в массиве последовательно и между ними нет промежутков. Номера записей в списке идут от 1 до N — полного числа записей. В принципе записи могут быть составлены из полей, однако нас будут интересовать зна­чения лишь одного из этих полей, называемого ключом. Списки могут быть не отсортированными или отсортированными по значению ключе­вого поля. В не отсортированном списке порядок записей случаен, а в отсортированном они идут в порядке возрастания ключа.

Поиск нужной записи в не отсортированном списке сводится к про­смотру всего списка до того, как запись будет найдена. Это простей­ший из алгоритмов поиска. Мы увидим, что этот алгоритм не очень эффективен, однако он работает на произвольном списке.

В отсортированном списке возможен также двоичный поиск. Дво­ичный поиск использует преимущества, предоставляемые имеющимся упорядочиванием, для того, чтобы отбрасывать за одно сравнение боль­ше одного элемента. В результате поиск становится более эффективным.

С поиском конкретного значения связана задача выборки, в кото­рой требуется найти элемент, удовлетворяющий некоторым условиям. Скажем, нам может понадобиться пятый по величине элемент, седьмой с конца или элемент со средним значением. Мы обсудим два подхода к этой задаче.

 

Последовательный поиск

В алгоритмах поиска нас интересует процесс просмотра списка в поисках некоторого конкретного элемента, называемого целевым. При последовательном поиске мы всегда будем предполагать, хотя в этом и нет особой необходимости, что список не отсортирован, поскольку некоторые алгоритмы на отсортированных списках показывают луч­шую производительность. Обычно поиск производится не просто для проверки того, что нужный элемент в списке имеется, но и для того, чтобы получить данные, относящиеся к этому значению ключа. Напри­мер, ключевое значение может быть номером сотрудника или порядко­вым номером, или любым другим уникальным идентификатором. После того, как нужный ключ найден, программа может, скажем, частично изменить связанные с ним данные или просто вывести всю запись. Во всяком случае, перед алгоритмом поиска стоит важная задача опреде­ления местонахождения ключа. Поэтому алгоритмы поиска возвраща­ют индекс записи, содержащей нужный ключ. Если ключевое значение не найдено, то алгоритм поиска обычно возвращает значение индекса, превышающее верхнюю границу массива. Для наших целей мы будем предполагать, что элементы списка имеют номера от 1 до N. Это по­зволит нам возвращать 0 в случае, если целевой элемент отсутствует в списке. Для простоты мы предполагаем, что ключевые значения не повторяются.

Алгоритм последовательного поиска последовательно просматрива­ет по одному элементу списка, начиная с первого, до тех пор, пока не найдет целевой элемент. Очевидно, что чем дальше в списке находится конкретное значение ключа, тем больше времени уйдет на его поиск. Это следует помнить при анализе алгоритма последовательного поиска.

Вот как выглядит полный алгоритм последовательного поиска.

SequentialSearch(list.target,N)
list     список для просмотра

target целевое значение
N         число элементов в списке

for i=l to N do

if (target=list[i])

Return i

End if

End for

Return 0

     Анализ наихудшего случая

У алгоритма последовательного поиска два наихудших случая. В первом случае целевой элемент стоит в списке последним. Во втором его вовсе нет в списке. Посмотрим, сколько сравнений выполняется в каждом из этих случаев. Мы предположили, что все ключевые значения в списке уникальны, и поэтому если совпадение произошло в последней записи, то все предшествующие сравнения были неудачными. Однако алгоритм проделывает все эти сравнения пока не дойдет до последнего элемента. В результате будет проделано N сравнений, где N — число элементов в списке.

Чтобы проверить, что целевое значение в списке отсутствует, его придется сравнить со всеми элементами списка. Если мы пропустим какой-то элемент, то не сможем выяснить, отсутствует ли целевое зна­чение в списке вообще или оно содержится в каком-то из пропущенных элементов. Это означает, что для выяснения того, что ни один из эле­ментов не является целевым, нам потребуется N сравнений.

Так что N сравнений необходимо как для того, чтобы найти значе­ние, содержащееся в последнем элементе списка, так и для того, что­бы выяснить, что целевого значения в списке нет. Ясно, что N дает верхнюю границу сложности любого алгоритма поиска, поскольку, ес­ли сравнений больше N, то это означает, что сравнение с каким-то эле­ментом выполнялось по крайней мере дважды, а значит была проделана лишняя работа, и алгоритм можно улучшить.

Между понятиями верхней границы сложности и сложности в наи­худшем случае есть разница. Верхняя граница присуща самой задаче, а понятие наихудшего случая относится к решающему ее конкретно­му алгоритму.

        Анализ среднего случая

Для алгоритмов поиска возможны два средних случая. В первом предполагается, что поиск всегда завершается успешно, во втором — что иногда целевое значение в списке отсутствует.

Если целевое значение содержится в списке, то оно может занимать одно из N возможных положений: оно может быть первым, вторым, третьим, четвертым и так далее. Мы будем предполагать все эти по­ложения равновероятными, т.е. вероятность встретить каждое из них равна 1/N.

Прежде, чем читать дальше, ответьте на следующие вопросы.

• • Сколько сравнений требуется, если искомый элемент стоит в спи­
ске первым?

• • А если вторым?

• • А если третьим?

• • А если последним из N элементов?

Если Вы внимательно посмотрели на алгоритм, то Вам несложно определить, что ответы будут выглядеть 1, 2, 3 и N соответственно. Это означает, что для каждого из N случаев число сравнений совпадает с номером искомого элемента. В результате для сложности в среднем случае мы получаем равенство

Если мы допускаем, что целевого значения может не оказаться в списке, то количество возможностей возрастает до N + 1.

Как мы уже видели, при отсутствии элемента в списке его поиск требует N сравнений. Если предположить, что все N + 1 возможностей равновероятны, то получится следующая выкладка:

(Когда N становится очень большим, значение 1/(N + 1) оказывается близким к 0.)

Видно, что допущение о возможности отсутствия элемента в списке увеличивает сложность среднего случая лишь на 1/2. Ясно, что по срав­нению с длиной списка, которая может быть очень велика, эта величина пренебрежимо мала.

 

Двоичный поиск

При сравнении целевого значения со средним элементом отсортиро­ванного списка возможен один из трех результатов: значения равны, целевое значение меньше элемента списка, либо целевое значение боль­ше элемента списка. В первом, и наилучшем, случае поиск завершен. В остальных двух случаях мы можем отбросить половину списка.

Когда целевое значение меньше среднего элемента, мы знаем, что если оно имеется в списке, то находится перед этим средним элемен­том. Когда же оно больше среднего элемента, мы знаем, что если оно имеется в списке, то находится после этого среднего элемента. Это­го достаточно, чтобы мы могли одним сравнением отбросить половину списка. При повторении этой процедуры мы сможем отбросить полови­ну оставшейся части списка. В результате мы приходим к следующему алгоритму

 

BinarySearch(list.target,N) list список для просмотра target целевое значение N число элементов в списке

start=l

end=N

while start<=end do

middle=(start+end)/2

select(Compare(list[middle].target)) from

case -1: start=middle+l