Если назначить величины

(3.10)         ,    ,  

и нормировать их:

(3.11)     ,    ,   ,

то точно так же, как и ранее, оказывается, что  для всех ячеек сетки.

Будем предполагать, что для заданной произвольной сетки все ячейки удовлетворяют требованию  . Заметим, что это требование более слабое, чем выпуклость всех ячеек, поскольку допускает присутствие невыпуклых ячеек, но при условии отсутствия ячеек самопересекающихся (у них пересекается одна из двух пар противоположных границ). Будем называть такую сетку несамопересекающейся.

Полученный результат можно сформулировать так. Произвольно заданная несамопересекающаяся сетка (3.1) реализуется как решение задачи о минимизации дискретного функционала, описываемого формулами (3.6)-(3.9), если задать элементы матриц G^* формулами (3.10)-(3.11).

Далее отметим, что поставленной цели тождественной передачи дифференциального соотношения (1.6) в разностной форме (3.4) легко было бы добиться и другим способом. Достаточно было бы назначить:

          ,   

 (3.12)  ,   

и далее вычислять g₁₁, g₂₂, g₁₂ по их дифференциальным выражениям (1.2).

Предпочтение формулам (3.7)-(3.8) носит содержательный характер, поскольку обеспечивает получение лучшей формы для системы разностных уравнений, которые будут рассматриваться позднее в § 5.

3.3. Сделаем несколько замечаний о дискретизации задачи.

Во-первых, очевидно, что решение такой задачи для функционала (3.6)-(3.9) менее громоздко, чем для функционала (3.2)-(3.3). Во всяком случае при фиксированных матрицах G минимизация функционала (3.9), представляющего квадратичную форму от искомых координат узлов сетки, сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. В случае же функционала (3.2)-(3.3) даже при фиксированных матрицах G решать придется систему нелинейных уравнений из-за присутствия в знаменателе (3.2) величин J_k, моделирующих якобиан искомого отображения.

Во-вторых, минимизация функционала (3.2)-(3.3) осуществляется на множестве выпуклых сеток. Существование «выпуклого» решения при произвольном наборе фиксированных положительно определенных и симметричных матриц G_k доказано в [2]. Это доказательство использует наличие бесконечного барьера на границе класса выпуклых (невырожденных) сеток.   

В отличие от этого минимизация функционала (3.6)-(3.9) осуществляется на множестве несамопересекающихся сеток. Естественно было бы ожидать, что искомое решение также будет несамопересекающейся сеткой. Однако наличие примера (1.15) обнаруживает, что это не всегда так. Как уже обсуждалось в разделе 1.3., это является, с одной стороны, недостатком, а с другой стороны – преимуществом дискретного функционала (3.6)-(3.9) перед дискретным функционалом (3.2)-(3.3).

Обратим внимание, что в знаменателе функционала (1.10)-(1.11) исчез якобиан искомого отображения, однако сохранился сомножитель . Он присутствует в знаменателе формул (3.6). Это позволяет в ходе расчета не с фиксированными, а переменными матрицами G, позаботиться о создании для функционала (3.6)-(3.9) бесконечного барьера, аналогичного упомянутому выше для функционала (3.2)-(3.3). Требуется соответствующее назначение матриц G (этот вопрос будет обсуждаться в § 4) и организация итерационного процесса, при которой ячейки сохраняют несамопересекаемость. Тогда можно гарантировать, что минимум функционала (3.6)-(3.9) будет достигаться на сетке, которая не содержит самопересекающихся ячеек.