И проблема неединственности решения

 

6.1. Как уже отмечалось, вариационные функционалы (1.1) и (1.10)-(1.11) таковы, что позволяют при соответствующем задании входящих в них локальных метрических параметров G₁₁, G₂₂, G₁₂ воспроизвести любую наперед заданную невырожденную сетку. Это и рассматривается как основание называть их универсальными.

Совершенно очевидно, что таким же свойством будут обладать и функционалы

(6.1)                  ;  ,

в которых подынтегральное выражение Е, называемое плотностью энергии отображения, заменено на j(Е), где j(Е) - произвольная монотонно возрастающая функция для Е ³1. Нормирующий сомножитель j (1) введен в (6.1) для сохранения минимума подынтегрального выражения равным 1.

Более того, если в процессе минимизации функционала (1.1) достигается его абсолютный минимум Е º1, F =1, то для любого из функционалов (6.1) на той же сетке будет тоже достигаться абсолютный минимум. Однако, если это не так и абсолютный минимум функционала (1.1) не достигается, то минимизация функционалов (6.1) будет порождать другие сетки.

Как уже отмечалось, в силу большой неопределенности требований к конструируемой сетке (кроме очевидного – невырожденности) с точки зрения практики желательно иметь возможность обеспечить разнообразие возможных решений задачи.

Чего можно ожидать от задания различных функций j(Е)? Если, например, использовать j(Е)=E^p, то при больших значениях показателя p можно ожидать в определенной степени минимизации максимального значения величины  по ячейкам сетки (по аналогии с тем, как в функциональном анализе норма пространства L_p при p ®¥ приближается к норме пространства С). Такая постановка задачи о построении сетки может быть вполне осмысленной, поскольку зачастую качество сетки определяется одной (самой «худшей») ее ячейкой.

Еще один пример. При криволинейной форме границ области, в которой строится сетка, очень велик диапазон изменения локальных коэффициентов вариационного функционала. Это создает и усиливает затруднения при численной реализации ввиду огромных чисел обусловленности матриц для соответствующих линеаризованных задач. В этом смысле можно было бы ожидать, что использование функции j(Е)=1+lnE, уменьшающей такой разброс, могло бы в какой-то степени ослабить эту тенденцию. Приведенные примеры представляют не более, чем качественные соображения или рабочие гипотезы, и нуждаются в экспериментальной проверке.

Создать универсальный алгоритм построения сеток в произвольной области, форма которой зачастую заранее неизвестна (например, получается в ходе нестационарного расчета), пока не удалось. Поэтому разумной альтернативой представляется введение в алгоритмы построения сеток небольшого числа управляющих параметров, которые позволили бы в неблагоприятных ситуациях, когда исполнителю «не нравится» сложившаяся расчетная сетка, путем их смены преодолевать «кризисные» явления. Степенной показатель p, приведенный выше в качестве примера, может рассматриваться как один из таких управляющих параметров. Другие примеры содержались в § 4 при изложении алгоритмов назначения локальных параметров G₁₁, G₂₂, G₁₂. Главное затруднение состоит в том, что действия по изменению управляющих параметров должны быть целенаправленными. Пока же приходится лишь ссылаться на пресловутый «опыт вычислителя».

6.2. Это одна сторона вопроса. Вторая состоит в том, что никакая свобода в алгоритме не должна отменять детерминированного характера его работы – иначе начнется хаос (это напрямую связано с корректностью математической постановки задачи) и не останется никакой надежды на благополучное проведение расчета на ЭВМ.

Между тем ситуация складывается очень непростая. В частности, в упоминавшейся уже работе [6] отмечается, что, поскольку используемый вариационный функционал является невыпуклым, он может иметь несколько стационарных точек. По мнению авторов [6], «увеличение количества узлов сетки (т.е. приближение к дифференциальной постановке задачи) не всегда приводит к уменьшению количества таких точек. Ситуация часто бывает обратной и, по-видимому, можно построить примеры конфигураций областей, когда количество стационарных точек исчисляется десятками и сотнями».

Между тем, как уже отмечалось в разделе 2.6., в работе [2] доказано, что для функционала (1.1) существует единственное решение в случае, если метрические параметры G₁₁, G₂₂, G₁₂ обеспечивают его абсолютный минимум. Случай, когда в процессе минимизации абсолютный минимум не достигается, оставлен открытым.

Изложенные факты позволяют выдвинуть две версии.

Первая состоит в том, что функционал (1.18), используемый в [6], «хуже», чем (1.1). Автор имеет опыт работы с другими функционалами и уже высказывал некоторые соображения по поводу возможной неединственности решения в работах [8] и [9].

Вторая версия состоит в том, в неединственности повинен итерационный процесс минимизации функционала, который может «застревать» в точках, даже не имеющих отношения к решению рассматриваемой задачи. Такая ситуация рассматривалась автором в связи с расчетами критических параметров реакторов методами, опиравшимися на известный вариационный принцип В.С.Владимирова (приводить соответствующие ссылки нет необходимости). Ситуацию удалось смоделировать на простейшем примере задачи вычисления наибольшего собственного значения симметричной матрицы 3-го порядка А с постоянными элементами, реализуемой как поиск максимума нелинейного отношения (Ax,x)/(x,x), где x – трехмерный вектор. В работе [19] приведен пример итерационного процесса, внешне вполне «безобидного», который может сходиться к ответу, не имеющему никакого отношения к делу.

Уместно заметить, что для функционала (1.10)-(1.11) без якобиана искомого отображения в знаменателе ситуация безусловно так не обостряется, как в случае функционала (1.1). Во всяком случае, при фиксированных (предписанных заранее) значениях G₁₁, G₂₂, G₁₂ (как элементах положительно определенных симметричных матриц в каждой точке x,h параметрического квадрата Q) вопрос о единственности искомого решения не вызывает сомнений (по-видимому, следует оговорить исключение специально конструируемых примеров).

 

 

Заключение

 

Подводя итог изложенному, можно констатировать, что в настоящей работе рассмотрены некоторые вариационные функционалы, которые позволяют в результате их дискретизации и последующей минимизации получить произвольную невырожденную сетку. Рассмотрены алгоритмы назначения или определения в ходе итерационного процесса входящих в функционалы метрических параметров сетки. Специальное внимание уделено вопросам конструирования ортогональных сеток (в предположении, что таковые существуют при рассматриваемой постановке задачи) или близких к ним («квазиортогональных») сеток. Кратко обсужден вопрос о конструировании численных алгоритмов для минимизации функционалов.

Следует отметить, что построение сетки не является самоцелью. Получаемая сетка будет использоваться для решения тех или иных задач математического моделирования физических процессов. В силу неопределенности требований к конструируемой сетке (кроме очевидного – невырожденности) с точки зрения практики желательно иметь возможность обеспечить разнообразие возможных решений задачи о построении сетки. В определенной степени этого можно достигнуть путем введения в алгоритмы расчета сеток некоторых управляющих параметров.

Еще одна сторона проблемы, особенно важная при решении нестационарных задач, касается того, чтобы в процессе расчета и особенно в моменты «переключения» алгоритмов это происходило «мягко и плавно». В противном случае большие, переменные по времени, скорости движения узлов сетки (по сравнению с реальными, вызванными физическими условиями задачи) могут привести к непозволительным ошибкам в моделировании физического процесса или вообще к аварийным ситуациям. Рассмотрение этих вопросов осталось за рамками настоящей работы и требует специального обсуждения.

В целях устранения главной причины, препятствующей получению ортогонального отображения и, как следствие, получению сеток, действительно близких к ортогональным, целесообразно рассматривать также возможность движения узлов сетки по некоторым границам расчетной области, как было отмечено в разделе 2.5.

Заметим также, что в работе [1] рассматривался и вариационный функционал, содержащий возможность адаптации к заданной функции f(x,y), а также к построению сеток на поверхностях. Наконец, в [1] были сделаны некоторые предложения по обобщению функционала на трехмерный случай. Отметим также работу [20], в которой рассматривались функционалы для построения сеток на n -мерных гиперповерхностях в (n+r)-мерном пространстве.

Автор выражает благодарность Г.Б.Алалыкину за участие в проведении численных экспериментов по апробации описанных алгоритмов и М.С.Гавреевой за помощь в оформлении настоящей работы.

 

Литература

 

1. Иваненко С.А. Управление формой ячеек в процессе построения сеток.// ЖВМ и МФ, 2000, т.40, № 11, 1662-1684.

2. Иваненко С.А. О существовании уравнений для описания классов невырожденных криволинейных координат в произвольной области //ЖВМ и МФ, 2001, т.41, №8.

3. Годунов С.К., Прокопов Г.П. – О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток.// ЖВМ и МФ, 1967, т.7, № 5, 1031-1059.

4. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Под общей редакцией С.К.Годунова.//М., «Наука», 1976, 400 стр.

5. Годунов С.К. Воспоминания о разностных схемах. Доклад на Международном симпозиуме «Метод Годунова в газовой динамике». Мичиганский университет (США). Май 1997//Новосибирск. Научная книга, 1997, 40 стр.

6. Гаранжа В.А., Капорин И.Е. – Регуляризация барьерного вариационного метода построения разностных сеток.// ЖВМ и МФ, 1999, т.39, №9, 1489-1503.

7. Прокопов Г.П. Конструирование тестовых задач для построения двумерных регулярных сеток.//Вопросы атомной науки и техники. Серия: Мат. моделирование физ. процессов. 1993, вып.1, 7-12.

8. Прокопов Г.П. Методология вариационного подхода к построению квазиортогональных сеток.// Там же, 1998, вып.1, 37-46.

9. Прокопов Г.П. О расчете разностных сеток, близких к ортогональным, в областях с криволинейными границами.// Препринт ИПМ АН СССР, 1974, №17, 36 стр.

10. Сидоров А.Ф., Шабашова Т.И. Об одном методе расчета оптимальных разностных сеток для многомерных областей.// Числ. методы механики сплошной среды. Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1981, т.12, №5, 106-124.

11. Антонова Р.Н., Прокопов Г.П. Расчет квазиортогональных сеток минимизацией вариационных функционалов.//Препринт ИПМ РАН, 1998, № 31, 32 стр.

12. Белинский П.П., Годунов С.К., Иванов Ю.Б., Яненко И.К. Применение одного класса квазиконформных отображений для построения разностных сеток в областях с криволинейными границами.// ЖВМ и МФ, 1975, 15, №6, 1499-1511.

13. Годунов С.К., Гордиенко В.М., Чумаков Г.А. Квазиизометрическая параметризация криволинейного четырехугольника и метрика постоянной кривизны. Siberian Advances in Mathematics, 1995, т.5, №2, 1-20.

14. Godunov S.K., Zhukov V.T., Feodoritova O.B. An algorithm for construction of quasi-isometric grids in curvilinear quadrangular regions.// Proc. 16-th Internal. Conf. on Numer. Meth. Fluid Dynamics. Arcachon, France, July 6-10, 1998, p.49-54.

15. Антонова Р.Н., Прокопов Г.П. Сравнение нескольких вариантов построения двумерных разностных сеток посредством интерполяционных формул.//Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Мат. моделирование физ. процессов, 1994, вып.2, 78-88.

16. Антонова Р.Н., Прокопов Г.П. Расчет подвижных сеток и проблема начального приближения для сетки в сложной области.// Там же, 1996, вып.1-2, 84-90.

17. Антонова Р.Н., Прокопов Г.П. Расчет гладких сложносоставных сеток прямой минимизацией вариационных функционалов.// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Мат. моделирование физических процессов. 1997, вып. 2, 17-23.

18. Winslow A.M. Numerical solution of the quasi-linear Poisson equation in a non uniform triangle mesh.// J. Comp. Phys. 1966, vol.1, № 2, 149-172.

19. Прокопов Г.П. Об одном методе отыскания максимального собственного значения симметричной матрицы.// ЖВМ и МФ, 1967, т.7, № 5, 1167-1171.

20. Лисейкин В.Д. О конструировании регулярных сеток на n -мерных поверхностях. // ЖВМ и МФ, 1991, т.31, №11, 1670-1683.