Лекция 11. Тема – Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы

Функция многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные.

План.

Определение функции многих переменных.

Предел функции многих переменных. Непрерывность функции многих переменных.

Частные производные.

1. Обозначим через D некоторое множество точек в п -мерном пространстве.

Если задан закон f , в силу которого каждой точке М (х ;...; х ) D ставится в соответствие число и, то говорят, что на множестве D определена функция и = f (х ;...; х ).

Множество точек М (х ;...; х ), для которых функция и = f (х ;...; х ) определена, называют областью определения этой функции и обозначают D (f).

Функции многих переменных можно обозначать одним символом и = f (М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.

Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.

Графиком функции двух переменных z=f (х; у) в прямоугольной системе координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х; у; z) удовлетворяют уравнению z=f (х; у).

2. Обозначим через (М; М ) расстояние между точками М и М . Если п =2, М (х; у), М (х ; у ), то

(М; М )= .

В п -мерном пространстве

(М; М )= .

Пусть на множестве D задано функцию и = f (М).

Число А называется пределом функции и = f (М) в точке М , если для произвольного числа >0 найдётся такое число >0, что для всех точек М D, которые удовлетворяют условию 0< (М; М )< , выполняется неравенство

Свойства пределов функций одной переменной сохраняются и для функций многих переменных, то есть если функции f (М) и g (М) имеют в точке М конечные пределы, то

1. = с ,

2. = ,

3. = .

4. если .

Заметим, что если предел существует, то он не должен зависеть от пути, по которому точка М стремится к точке М .

Функция и = f (М) называется непрерывной в точке М , если

= f (М ).

Функция и = f (М) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке М D.

Точки, в которых непрерывность функции нарушается, называются точками разрыва функция. Точки разрыва могут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д.Например, функция z= имеет разрыв в точке (0;0), а функция z= имеет разрыв на параболе

3. Множество точек М, которые удовлетворяют неравенству (М; М )< , называют -окрестностью точки М .

Пусть функция двух переменных z=f (x; у) (для большего количества переменных всё аналогично) определена в некоторой окрестности точки М (x; у). Дадим переменной х приращение так, чтобы точка (х+ ; у) принадлежала этой окрестности. При этом функция z=f (x; у) изменится на величину

которая называется частичным приращением функции z=f (x; у) по переменной х.

Аналогично величину

называют частичным приращением функции по переменной у.

Если существует предел

то его называют частной производной функции z=f (x; у) в точке М (x; у) по переменной х и обозначают такими символами:

, , , .

Аналогично

= .

Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.

Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей.

Частные производные от частных производных , функции z=f (x; у) называются частными производными второго порядка. Функция двух переменных может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так:

, ,