Локальные экстремумы функции высших порядков

1. Пусть функция z=f (x; у) непрерывна в некоторой окрестности точки М (x; у) вместе со своими частными производными (х; у), (х; у). Выберем приращение и так, чтобы точка (х+ ;у+ ) принадлежала рассматриваемой окрестности.

Если полное приращение функции z=f (x; у) в точке М (x; у)

= f (x+ ; у + )- f (x; у)

можно записать в виде

= (х; у) + (х; у) + ,

где - бесконечно малые функции при , , то функция z=f (x; у) называется дифференцированной в точке М (x; у), а линейная относительно и часть её полного приращения называется полным дифференциалом функции и обозначается

dz= + .

Дифференциалами независимых переменных называют приращения этих переменных dх= , dу= . Поэтому

dz= dх + dу,

или в других обозначениях

dz= dх + dу.

Для функции трёх переменных и= f (x; у; z)

dи= dх + dу+ dz.

Полный дифференциал функции z=f (x; у)

dz= dх + dу,

который ещё называют дифференциалом первого порядка, зависит от независимых переменных х, у и от их дифференциалов dх, dу. Заметим, что дифференциалы dх, dу не зависят от х, у.

Дифференциалы второго порядка определяют по формуле

d² z= d (dz).

Тогда

d² z= d ( dх+ dу)= ( dх+ dу) dх+ ( dх+ dу) dу= dх²+ dу dх+

+ dх dу+ dу²,

откуда

d² z= dх²+ 2 dх dу+ dу².

Символически это можно записать так:

d² z= ( dх+ dу)² z.

Аналогично можно получить формулу для полного дифференциала п -го порядка:

d^п z= d (d^п-1 z) =( dх+ dу) ^п z.

2. Производная функции z=f (x; у) в направлении вектора вычисляется по формуле

+ ,

где , - направляющие косинусы вектора :

= , = .

Если частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей, то производная в направлении вектора определяет скорость изменения функции в направлении вектора .

Градиентом функции z=f (x; у) называется вектор

grad z= (, ).

Свойства градиента

1. Производная имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента, причём это наибольшее значение производной равно .

2. Производная в направлении вектора, перпендикулярного градиенту, равна нулю.

3. Пусть функция z=f (x; у) определена на множестве D и точка М (х ; у ) D. Если существует окрестность точки М , которая принадлежит множеству D, и для всех отличных от М точек М выполняется неравенство

f (М)< f (М₀) (f (М)> f (М₀)),

то точку М называют точкой локального максимума (минимума) функции z=f (x; у), а число f (М₀) - локальным максимумом (минимумом) этой функции. Точки максимума и минимума функции называют её точками экстремума.

Теорема 5.1 (необходимые условия экстремума). Если функция z=f (x; у) в точке М (х ; у ) имеет локальный экстремум, то в этой точке частные производные , равны нулю или не существуют.

Точки, в которых = = 0, называются стационарными. Стационарные точки и точки, в которых частные производные не существуют, называются критическими.

Поэтому функция может достигать экстремальных значений только в критических точках; однако не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Пусть в стационарной точке М (х ; у ) и некоторой её окрестности функция z=f (x; у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Введём обозначения:

А= (х ; у ), В= (х ; у ), С= (х ; у ), = АС-В².

Теорема 5.2 (достаточные условия экстремума).

1. Если >0, то функция z=f (x; у) в точке М имеет экстремум, причём максимум при А <0 и минимум при А >0.

2. Если <0, то в точке М нет экстремума.

Для случая, когда количество переменных п >2, пользуются такой теоремой.

Теорема 5.3 Функция и = f (х ;...; х ) имеет минимум в стационарной точке М , если дифференциал второго порядка этой функции в точке М положителен d²f (М )>0, и максимум, если d²f (М )<0.