Стоимость фьючерсных контрактов

Будем считать, что на остаток на счете, образовавшийся к концу дня после корректировки фьючерсных позиций по рынку, к следующему дню начисляется процент. Соответствующая ставка непрерывно начисляемого процента r определяется исходя из однодневного процента. Пусть цена покупки фьючерсного контракта равна F^ф, последовательные котировки вплоть до последнего дня торговли контрактом равны F₁,..., F_m, а цена базисного актива на следующий день - день исполнения контракта - равна S_T. Предположим, что контракт расчетный. Тогда суммы, которые ежедневно начисляются / списываются по открытой позиции, составляют F₁ - F^ф, F₂ - F₁,..., S_T - F_m. Обозначим τ однодневный период, тогда T = mτ.

Результирующая сумма по фьючерсной позиции, полученная с учетом ежедневных начислений процентов на остатки на счетах, равна:

Это выражение зависит от всей неизвестной заранее траектории изменения фьючерсных расчетных цен. Расчетные цены фьючерсных контрактов определяются по окончании расчетного периода[21].

Пусть вначале открывается длинная фьючерсная позиция на M контрактов, в конце дня позиция наращивается до Me^rτ. (по расчетной цене этого дня), в конце следующего дня - до Me^2rτ и т.д. Тогда результирующая сумма оказывается равна:

В первой строке умножение на e^rτ обозначает увеличение остатка на счете из-за процентов, а умножение на ту же величину, но записанную в форме exp(rτ), соответствует увеличению количества контрактов. Результат же зависит только от цены покупки первых M контрактов и цены базисного актива на день исполнения. Предположим, что одновременно с покупкой фьючерсных контрактов покупаются форвардные контракты в количестве Me^2rτ по цене F^фор и с той же датой исполнения. Тогда в день исполнения контрактов прибыли/убытки по форвардным контрактам составят M[S_T - F^фор]e^rτ. Сравнение с результатом операции по фьючерсам показывает, что если цены форвардного и фьючерсного контрактов в начальный момент не совпадают, то возможно получение арбитражной прибыли.

Например, если фьючерсный контракт дешевле форвардного, то необходимо продать Me^rτ форвардных контрактов и одновременно купить М фьючерсных контрактов, наращивая впоследствии позицию до Me^rτ. Результат этой операции будет равен M[F^фор - F^ф]e^rτ>0.

Таким образом, теоретические стоимости фьючерсных контрактов должны определяться теми же выражениями, что и стоимости форвардных контрактов. Еще одним выводом из приведенных рассуждений является то, что для получения одинакового результата количество фьючерсных контрактов в начале операции должно быть меньше, чем форвардных, в e^rτ раз.