Уравнения в вариациях

Рассмотрим задачу Коши:

(14)

(15)

где - параметры. В дальнейшем мы рассмотрим функционалы, зависящие от параметров через решение задачи Коши (14),(15). Тогда градиентные уравнения будут зависеть от производных по решения задачи (14),(15), и мы должны уметь их вычислять. Дифференцируя уравнения (14), (15) по получаем, что функции

(16)

удовлетворяют следующей задаче Коши:

(17)

(18)

Уравнения (17) относительно производных (16) называют уравнениями в вариациях для уравнений (14).

Функционалы метода наименьших квадратов

Мы не можем рассмотреть здесь все многообразие функционалов метода наименьших квадратов и ограничимся одним достаточно общим функционалом. Он соответствует следующей задаче: модель некоторого процесса описывается задачей Коши (14),(15) (такие модели, в частности, достаточно распространены в биологической кинетике), даны измерения

, (19)

то есть даны приближений для значений величин в моменты времени , и требуется найти параметры на основе заданного начального приближения .

В методе наименьших квадратов нахождения (идентификации) параметров рассматривают функционал

(20)

где - фиксированные весовые коэффициенты, а - значения первых компонент решения задачи (14),(15) в точке при заданных

В методе наименьших квадратов полагают, что значение , доставляющее минимум этой функции , является адекватным приближением к реальному значению параметра для принятой модели процесса.