Рассмотрим квадратичную задачу Коши

 

,  (38)

, (39)

 

где  - вещественные или комплексные постоянные, а  - вещественная или комплексная переменная.

Подставляя в (38) разложение Тейлора

 

, (40)

 

получаем:

 

(41)

 

Приводя подобные члены и приравнивая все коэффициенты полученного степенного ряда нулю, получаем искомые формулы:

 

;

, , ,  (42)

 

где , .

 

Аналогичные формулы легко вывести и для общего случая полиномиальной системы степени .

Оценка погрешности и выбор шага

Рассмотрим полиномиальную задачу Коши:

 

, (43)

, (44)

 

где , , , а максимальная степень полиномов  (степень системы (43)) равна .

Введем обозначения:

 

, ,  (45)

 

и будем предполагать, что .

Теорема.

Решение  задачи (43), (44) голоморфно в круге  и удовлетворяет там неравенствам:

 

,  (46)

 

где

 

, ,  (47)

 

Используя эту теорему несложно построить алгоритм автоматического выбора шага в методе рядов Тейлора по заданной пользователем границе абсолютной (или относительной) погрешности.

1.4.3 Метод Рунге-Кутта

Этим методам посвящено много работ, и они хорошо изложены в много-численных учебниках (см., например, [2,3]).

 

2. Модели осциллирующих процессов в живой природе

2.1 Модель Лотки