2020-01-14
105
Теперь мы готовы для квази-средних указать упомянутое выше аксиоматическое определение. Будем исходить от частных случаев – простейших средних. Так взвешенные среднее арифметическое 
и среднее геометрическое 
можно определить как непрерывные хотя бы в одной точке решения функциональных уравнений 
и 
соответственно, а также эти решения должны удовлетворять условию усреднения, иначе не обязательно 
и 
. Первое условие есть результат теоремы 1, а второе условие мы докажем далее в общем случае.
Заметим, что операцию умножения, которая используется в уравнении для среднего геометрического, можно представить как 
, где 
, то есть функция, задающая среднее геометрическое. Операция сложения в уравнении для среднего арифметического представляется аналогично, но с функцией 
.
Тогда вообще для квази-средних рассмотрим операцию, обобщающую сложение и умножение, 
, где 
– произвольная непрерывная, строго монотонная функция, множество значений которой – один из промежутков (– 
;а), (– 
;а], (b; ), [b; ), (– ; ), где a≤0 и b≥0, что гарантирует существование операции для любых x и y из области определения функции 
. Сформулируем общий результат, выражающий аксиоматическое определение квази-средних [1].
|
|
|
Теорема 2. Квази-средние – это такие функции 
от n переменных, для которых выполнены условия:
1) непрерывность хотя бы в одной точке;
2) 
;
3) 
.
Доказательство. Очевидно, что квази-средние, ранее определённые как 
удовлетворяют перечисленным свойствам. Важно показать обратное – других величин с данными свойствами не существует. Для этого выведем вид функций 
, исходя из указанных условий.
Распишем уравнение 
, используя определение операции 
:
=
= 
,
=
= 
Далее, если определить 
иобозначить 
, 
, то последнее выражение перепишется так 
, где функция H непрерывна хотя бы в одной точке. Тогда единственной такой функцией будет 
, pi 
R. Возвращаясь к прежним переменным и функциям, найдём 
, pi R.
Осталось показать, что 
и 
. Используем свойство усреднения найденного решения: 
.
Возьмём 
, но тогда 
или 
, и поэтому 
. А если предположить, что какое-то 
, то для 
и 
, 
имеем
= 
=
= 
, что противоречит условию.
Аналогично можно определить квази-средние вида 
.
Теорема 3. Квази-средние вида 
– это такие функции 
от n переменных, для которых выполнены условия:
1) непрерывность хотя бы в одной точке;
2) 
;
3) рефлексивность, то есть 
;
4) симметричность.
Действительно, свойства 1 и 2 выделяют функции 
, pi 
R, далеесвойство 3 обеспечивает 
, а из свойства 4 вытекает 
.
Теперь мы можем аксиоматически задавать частные случаи квази-средних, указывая для них свои операции в функциональном уравнении 
. Например:
|
|
|
для среднего арифметического 
задающая его функция 
, и поэтому 
;
для среднего геометрического 
, 
;
для среднего гармонического 
, 
;
для среднего квадратичного 
, 
.
