Решение некоторых функциональных уравнений

Теорема 1. Единственными непрерывными хотя бы в одной точке решениями следующих уравнений являются соответственно функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. и , x≠0;

7. , x>0

Доказательство. 1. Найдём все непрерывные хотя бы в одной точке решения уравнения , которое будет основным, так как мы далее сведём к нему все остальные уравнения.

Зафиксируем точку х₀ из области определения – ту самую, в которой решение непрерывно, и проверим верность равенства для любого r R.

, что возможно только при ;

для любого r N;

для r=0;

, но тогда и для любого r N, то есть равенство верно для всех целых r.

Далее пусть r Q или r=z/n, где p Z и q N. и поэтому , то есть равенство верно для всех рациональных r.

На последнем шаге используем непрерывность решения в точке х₀ и тот факт, что любое действительное число представляется как предел некоторой рациональной последовательности.

Если , то и , а так как , заключаем, что для любого r R.

Теперь , p R (если обозначить не зависящий от х множитель за p).

2. Рассмотрим уравнение .

, и поэтому функция , непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнению , то есть уравнению 1, и поэтому .

Точно так же , …, . Но искомое решение , p_i R.

3. Решим уравнение .

, откуда , и поэтому функция , непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнению

, то есть .

Тогда .

4. Обратимся к уравнению .

Прежде всего заметим, что если при каком-либо x₀, то для любого x можно заключить , то есть .

Это одно из решений уравнения, и если существует другое решение, то оно не обращается в нуль ни в одной точке. Тогда . Но для положительной всюду можно определить функцию , которая непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению

, то есть . Откуда , где .

5. Рассмотрим уравнение .

, и поэтому

, то есть g(x) – чётная функция.

Очевидно, если g(x)≠0, то она не определена при х=0. Действительно, если существует g(0), то , откуда – тривиальное решение,существование которого очевидно.Таким образом уравнение достаточно рассматривать при х>0, а на отрицательную полуось решение продолжить чётным образом.

Определим функцию , где для любого х. G(x) непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению , то есть . Откуда , где . И с учётом чётного продолжения .

6. Уравнение также сведём к уравнению 1.

Прежде всего заметим, что если при каком-либо , то для любого x можно заключить , то есть –тривиальное решение. Далее , и так как длянетривиального решения, то из этого равенства следует, что .

Но тогда и g(–1)= 1.
Если , то , и g(x) – чётная функция. Если же , то , и g(x) – нечётная функция. Таким образом g(x) достаточно найти при х>0, а на отрицательную полуось решение продолжить или чётным, или нечётным образом, получив тем самым два решения функционального уравнения.

При х>0 , так как – мы ищем нетривиальное решение.Поэтомуможно определить функцию , которая непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению , то есть . Откуда .

И с учётом чётного и нечётного продолжений имеем два решения и , x≠0. Для k>0 функции можно по непрерывности доопределить и в нуле, но для k<0 это сделать невозможно. Заметим, что при k=0 вторая функция есть , и мы получаем пример разрывного решения.

7. И уравнение решим, используя предыдущее уравнение.

, и поэтому функция , непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнению , но тогда по доказанному для x>0 имеем (в этом случае ограничимся положительными x, так как далее решение на всей числовой прямой нам не понадобится).