Тождественные квази-средние

Квази-среднее  определено, если задана функция . Возникает естественный вопрос, справедливо ли обратное предложение: если  для любых  или  и  –тождественны, то следует ли отсюда, что задающие их функции  и  также тождественны. Ответ на этот вопрос даёт следующая

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием тождественности квази-средних    и  является условие , где .

Доказательство. Если указанное условие выполняется, то

, и поэтому 

=  или =  для любых , то есть условие достаточно.

Обратно, пусть = , =  или . Обозначая  и , перепишем = .

Сведём это равенство к функциональному уравнению. Возьмём точку   из области значений функции  и представим . Тогда =  или = . Полагая , где  для каждого i, найдём = ,  где  не зависит от .

Поэтому = , что с обозначениями , ,  перепишется так: .

Тогда   решением этого функционального уравнения будет функция , , где . Так как , то ,или ,    если взять .

Таким образом, чтобы задать одно и то же квази-среднее  мы можем взять любую функцию из целого класса функций , где  а≠0 и b – произвольныепостоянные, и другого способа получить тождественные квази-средние не существует.