2020-01-14
118
Квази-среднее 
определено, если задана функция 
. Возникает естественный вопрос, справедливо ли обратное предложение: если 
для любых 
или 
и 
–тождественны, то следует ли отсюда, что задающие их функции 
и 
также тождественны. Ответ на этот вопрос даёт следующая
Теорема 4. Необходимым и достаточным условием тождественности квази-средних 
и 
является условие 
, где 
.
Доказательство. Если указанное условие выполняется, то
, и поэтому
= 
или 
= 
для любых 
, то есть условие достаточно.
Обратно, пусть 
= 
, 
= 
или 
. Обозначая 
и 
, перепишем 
= 
.
Сведём это равенство к функциональному уравнению. Возьмём точку 
из области значений функции и представим 
. Тогда 
= 
или 
= 
. Полагая 
, где 
для каждого i, найдём 
= 
, где 
не зависит от 
.
Поэтому 
= 
, что с обозначениями 
, 
, 
перепишется так: 
.
Тогда решением этого функционального уравнения будет функция 
, 
, где 
. Так как 
, то 
,или 
, если взять 
.
Таким образом, чтобы задать одно и то же квази-среднее 
мы можем взять любую функцию из целого класса функций 
, где а≠0 и b – произвольныепостоянные, и другого способа получить тождественные квази-средние не существует.
