Неоднородные линейные системы

Пусть А – неособая квадратная матрица порядка n из непрерывных функций, определенных на действительном t-интервале I и b – непрерывный вектор на I, не равный тождественно нулю. Система уравнений

+b(t) (ЛН)

называется линейной неоднородной системой порядка n. Если элементы А и b непрерывны и даже измеримы и мажорируются суммируемой функцией на I, то существует единственное решение φ системы (ЛН), для которого

φ(τ) = ξ,

где и | ξ | < . Единственность решения следует из того, что если бы существовало два решения φ₁ и φ₂, то из разность φ = φ₁ - φ₂ была бы решением однородной системы (ЛО) на I при φ(τ) = 0. Но, по теореме единственности для (ЛО), разность φ должна равняться на I нулю тождественно и, следовательно, φ₁ = φ₂.

Если известна фундаментальная матрица Ф системы (ЛО), то легко найти решение системы (ЛН).

Теорема 3.1. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО), то функция

(3.1)

есть решение системы (ЛН), удовлетворяющее начальному условию

φ(τ) = 0 ().

Доказательство получается непосредственно при помощи прямой проверки.

Интуитивные соображения, с помощью которых можно получить выражение (3.1), заключаются в следующем6 для каждого постоянного вектора с функция Фс является решением системы (ЛО). Метод состоит в том, что мы рассматриваем с как функцию, определенную на I, и находим, какой должна быть с (если она существует), для того, чтобы функция φ = Фс была решением неоднородной системы (ЛН).

Пусть φ = Фс – решение системы (ЛН). Тогда

= +Ф =АФс + Ф = А φ + Ф = А φ + b,