Дано:
Найти: Уравнение движения
Решение:
Применим к решению задачи дифференциальное уравнение движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза, соответствующим статической деформации пружины, при условии что точка В занимает свое среднее положение . Направим ось вниз вдоль наклонной плоскости. Движение груза определяется по следующему дифференциальному уравнению:
,
где -сумма проекций на ось сил, действующих на груз.
Таким образом
Здесь ,
где - статическая деформация пружины под действием груза; -перемещение точки прикрепления нижнего конца пружины, происходящее по закону .
Статическую деформацию пружины найдем из уравнения, соответствующего состоянию покоя груза:
т.е.
Откуда
Дифференциальное уравнение движения груза примет вид:
или после преобразования
Разделив все члены уравнения на получим:
Введем обозначения:
Получаем, что
|
|
Имеем неоднородное уравнение
,
где - общее решение, соответствующего однородного уравнения;
- частное решение данного неоднородного уравнения.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Частное решение неоднородного уравнения:
Общий интеграл
Для определения постоянных интегрирования найдем, кроме ого, уравнение для :
и используем начальные условия задачи.
Рассматриваемое движение начинается в момент , когда деформация пружины является статической деформацией под действием груза.
Таким образом, при
Составим уравнения и для :
Откуда
Тогда уравнение движения груза примет вид:
Ответ:
Применение теоремы об изменении количества движения к исследованию движения механической системы.
Дано:
Найти: Скорость .
Решение:
На механическую систему действуют внешние силы: - сила сухого трения в опоре А; - силы тяжести тел 1, 2 и 3; -сила нормальной реакции в точке А; -реактивный момент в опоре В.
Применим теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме. В проекциях на оси координат
, (1)
где - проекции вектора количества движения системы на оси координат; - суммы проекций внешних сил на соответствующие оси.
Количество движения системы тел 1, 2 и 3
(2)
где
. (3)
Здесь - скорости центров масс тел 1, 2, 3; - соответственно переносные и относительные скорости центров масс.
Очевидно, что
(4)
Проецируя обе части векторного равенства (2) на координатные оси, получаем с учетом (3) и (4)
|
|
(5)
где - проекция вектора на ось ;
Проекция главного вектора внешних сил на координатные оси
(6)
Знак «-» соответствует случаю, когда , а знак «+» - случаю, когда .
Подставляя (5) и (6) в (1), получим
(7)
Выразим из второго уравнения системы (7) величину нормальной реакции и подставим ее в первое уравнение. В результате получим
при ; (8)
при . (9)
где
Рассмотрим промежуток времени , в течении которого тело 1 движется вправо . Из (8) следует, что
,
где С- постоянная интегрирования, определяемая из начального условия: при
.
При скорость тела 1 обращается в ноль, поэтому .
Найдем значения и :
Т.е. , . Значит, тело при начинает двигаться в обратном направлении. Это движение описывается дифференциальным уравнением (9) при начальном условии: ; (10)
Интегрируя (9) с учетом (10), получим, при
(11)
При получим из (11) искомое значение скорости тела 1 в момент, когда
.
Точное решение задачи. Воспользовавшись методикой, изложенной выше, получим дифференциальное уравнение движения тела 1:
при (12)
; при , (13)
где
Из (12) и учитывая, что получаем, при
откуда или
Из (13) и учитывая, что получаем, при
При находим
Ответ: .