Теоретическое обоснование

Расчет дисперсии – производят по формуле:

σ² = Σ (x_i - x)² ∙ f_i / Σ f_i

Следовательно, прежде всего необходимо найти отклонения вариант от средней (x_i - x_i), затем возвести их в квадрат ([ (x_i - x_i)² ]) квадраты отклонения взвесить [ (x_i- x_i)² ∙ f_i ] и просуммировать взвешенные квадраты отклонений [ Σ (x_i - x_i)² ∙ f_i. ]. Полученную сумму разделить на сумму частот (2).

Среднее квадратическое отклонение устанавливают извлечением корня квадратного из значения дисперсии

σ= √ σ²

Расчет средней, дисперсии и среднего квадратического отклонение производя по формулам указанным выше. Однако в качестве вариант в задачах приведены так называемые «открытые» варианты. В начале следует закрыть варианты, а затем, найдя полу сумму интервалов, ввести их в программу в виде усредняемых значений признака xi и fi – частоты повторения каждой варианты.

Среднее линейное отклонение L– есть средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от средней и определяется по формуле:

L=(S(Xi-X)*fi)/Sfi

Согласно формуле в начале находят абсолютные отклонения каждой варианты от средней ((Xi-X), а затем каждое абсолютное отклонение взвешивают ((Xi-X)*fi), суммируют взвешенные абсолютные отклонения (S(Xi-X)*fi) и это суммы делят на сумму частот (Sfi).

РЕШЕНИЕ

Для упрощения решения представим его в виде таблицы и для нахождения средней и дисперсии воспользуемся способом моментов:

Таблица 7.

Расход сырья на 1‑цу изделия, г.	Изготовлено изделий, шт.	Середина интервала.	\|Х-Х\|·f	(X – A)	(X – A) i	(Х – А)·f i	(Х – А)² i²	(X – A)²·f i²
До 20	8	19	32	-4	-2	-16	4	32
20 – 22	15	21	30	-2	-1	-15	1	15
22 – 24	50	23	0	0	0	0	0	0
24 – 26	20	25	40	2	1	20	1	20
Свыше 26	7	27	28	4	2	14	4	28
Итого	100		å \|Х-Х\| · f= 130			å(X-A) ·f/ i = 3		å((X – A) / i)²·f = 95

Для нахождения средней и дисперсии воспользуемся способом моментов:

Х=m1 · i +A; s² = i²(n ·(m2 – m1 ²⁾;

m1= å((X – A) ·f / i))/åf; m2= å((X – A) / i)²·f)/åf;

где

m1, m2 – соответственно моменты первого и второго порядка;

i – величина интервала;

А – варианта, имеющая наибольшую частоту;

F – значение весов или частот каждой варианты.

Наиболее часто встречаются изделия с расходом сырья на единицу продукции =23 г. Значит А=23 (г.).

Определим величину интервала (визуально видно, что интервалы имеют равную величину):

I=22–20=24–22=26–24=2 (г.)

На основании расчетов представленных в таблице найдем Х и s^2:

m₁ = 3/100 = 0,03; m₂= 95/100 = 0,95;

Х= 0,03 · 2 + 23= 23,06 (г.)

s² = 4 · (0,95 – 0,03²) = 3,8

Найдем среднее квадратическое отклонение:

s = √3,8 = 1,95 (г.)

2. Определим среднее линейное отклонение:

L= 130 / 100 = 1,3 (г.)

3. Определим коэффициент вариации:

V = 1,3 / 23,06 = 0,056 (5,6%).

Выводы: на основании проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

– средний расход сырья на единицу изделия равен ≈ 23 г.

– среднее квадратическое отклонение показывает, что возможно отклонение от среднего расхода сырья на единицу продукции как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения на 1,95 г., что составляет 5,6% (см. коэффициент вариации).

– среднее линейное отклонение также показывает возможное отклонение от среднего расхода сырья на единицу продукции как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, но менее точно, чем среднее квадратическое отклонение, и составляет 1,3 г.

ЗАДАЧА 6

Для определения срока службы металлорежущих станков проведено 10%-е выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующие данные:

Таблица 8.