Исследование устойчивости

 

При некоторых условиях система автоматического регулирования вместо обеспечения стабилизации технологических параметров и компенсации возмущений может начать их усиливать, тогда переходный процесс становится расходящимся, неустойчивым. Критерием устойчивости являются условия, при которых данная система может быть устойчивой.

Замкнутая система автоматического регулирования будет находиться на границе устойчивости, если в разомкнутой системе сдвиг по фазе составляет 180° и отношение амплитуд равно единице. При сдвиге фаз φ(ω) = 180° и амплитуде выходных колебаний А (ω)> 1 система неустойчива; А (ω) < 1 — устойчива.

Амплитуда выходных колебаний может меняться в широких пределах путем изменения параметров настройки регулятора, т. е. из­менения к_р и Т_р. С изменением нагрузки технологического аппарата коэффициент усиления объекта будет существенно меняться, и устойчивая система при некоторых нагрузках может выйти за пре­делы устойчивости. Поэтому настройки регулятора выбирают с таким расчетом, чтобы был гарантирован запас устойчивости системы на всех технологических режимах.

Для определения устойчивости нашей системы в программе Mat Lab построим график переходного процесса и амплитудно – фазовую частотную характеристику (АФЧХ) разомкнутой системы.

Объект регулирования у нас представлен совокупностью апериодического (инерционного) звена первого порядка и звена запаздывания. Регулятор, реализующий ПИ – закон, – совокупностью пропорционального и интегрального звеньев. Передаточная функция ПИ – регулятора имеет вид

 

, (12)

где  – коэффициент передачи, % хода регулирующего органа / ед. регулируемой величины; Т_и – время изодрома, с.

 

 

Рисунок 10 - Структурная схема разомкнутой АСР (автоматической системы регулирования).

Рисунок 11 - График переходного процесса.

 

Если после окончания переходного процесса система снова приходит в первоначальное или другое равновесное состояние, то такую систему называют устойчивой.

Если при тех же условиях в системе или возникают колебания со всё возрастающей амплитудой, или происходит монотонное увеличение отклонения регулируемой величины от её заданного равновесного значения, то систему называют неустойчивой.

По графику переходного процесса (рисунок 11) видно, что наша АСР устойчива, с течением определённого времени в системе устанавливается равновесное состояние.

Проверим устойчивость нашей АСР по критерию устойчивости Найквиста.

Амплитуда выходных колебаний может меняться в широких пределах путем изменения параметров настройки регулятора, т. е. из­менения к_р и Т_р. С изменением нагрузки технологического аппарата коэффициент усиления объекта будет существенно меняться, и устойчивая система при некоторых нагрузках может выйти за пре­делы устойчивости. Поэтому настройки регулятора выбирают с таким расчетом, чтобы был гарантирован запас устойчивости системы на всех технологических режимах.

Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова имеет следующую формулировку: если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не охватывает точки с координатами —1;j0, то после замыкания этой системы отрицательной обратной связью она будет устойчива.

Критерий Найквиста – Михайлова позволяет судить об устойчи­вости САР еще до ее замыкания на объект (по экспериментальным частотным характеристикам).

 

Рисунок 12 - Комплексная частотная характеристика разомкнутой системы АСР.

Если разомкнутая система устойчива, то для обеспечения её устойчивости в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы КЧХ (комплексная частотная характеристика) разомкнутой системы не охватывала точку (– 1, j0).

Если КЧХ устойчивой разомкнутой системы охватывает точку (– 1, j0), то система в замкнутом состоянии не устойчива.

Из рисунка 12 видно, что наша система автоматического регулирования давления газов в рабочем пространстве печи устойчива в замкнутом состоянии (при охвате отрицательной обратной связью – рисунок 13), так как в разомкнутом состоянии не охватывает точку (– 1, j0).

 

Рисунок 13 - Структурная схема замкнутой АСР (автоматической системы регулирования).

 

Запас устойчивости – это количественная оценка того, насколько значения параметров системы или ее характеристики отстоят от границы, опасной с точки зрения устойчивости. Различают запас устойчивости по амплитуде и по фазе.

Запас устойчивости по амплитуде показывает насколько необходимо изменить модуль К(ω) АФХ разомкнутой системы при частоте среза ω_ср, чтобы замкнутая система оказалась на границе устойчивости. За частоту среза разомкнутой системы принимают такую, при которой выполняется равенство: К(ω) =|W(jω) |= 1.

Отсюда следует, что при частоте среза характеристика W(jω) пересекает окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Если здесь частоту, соответствующую пересечению характеристики W(jω) с вещественной отрицательной полуосью, обозначить за ω_{1 ,} то запас устойчивости по амплитуде будет определяться расстоянием от точки этого пересечения до точки с координатами (– 1,j0).

Запас устойчивости по фазе ψ показывает насколько необходимо увеличить фазу в разомкнутой системе при частоте среза, чтобы соответствующая ей замкнутая система оказалась на границе устойчивости. Запас устойчивости по фазе определяется углом между вектором W(jω_ср) и вещественной отрицательной полуосью. Обычно при определении необходимого запаса устойчивости вокруг опасной точки вычерчивается область, куда не должна заходить АФХ.

 

ωС

ω1

ω1

LC

γ

-π

φ(ω)

L(ω)

ωС

Рисунок 14 Определение запаса устойчивости по модулю и по фазе с помощью ЛАЧХ (логарифмических амплитудно – частотных характеристик) разомкнутой системы АСР.

 

На рисунке 14 показаны логарифмические частотные характеристики, соответствующие КЧХ (рисунок 12) для устойчивой системы в разомкнутом и замкнутом состояниях. Частота, при которой ЛАЧХ пресекает ось абсцисс, называется частотой среза и обозначается ω_с.

В нашем случае частота среза равна ω_с=0,54 (рисунок 14).

Запасы устойчивости по модулю и по фазе определяем по ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой устойчивой системы автоматического регулирования (рисунок 14). Если при частоте ω₁>ω_c ЛФЧХ φ(ω₁)= – π, то абсолютная величина отрицательной амплитуды ЛАЧХ при этой частоте определяет запас устойчивости по модулю L_c в децибелах, а запас устойчивости по фазе равен значению ЛФЧХ на частоте среза γ (ω_с)+π. Если ω_с>ω₁, то система неустойчива.

У нас ω_c<ω₁, следовательно, система устойчива. Запас устойчивости по модулю равен L_c=54,4дБ. Запас устойчивости по фазе равен

 

γ= –140,1⁰+180⁰=39,9⁰.

 

Таким образом, запас устойчивости по модулю представляет собой запас по коэффициенту передачи к разомкнутой системы относительно его критического по устойчивости значения.

Запас устойчивости по фазе γ показывает, насколько возрастёт запаздывание по фазе в системе на частоте среза ω_с при неизменном коэффициенте усиления на этой частоте, чтобы система оказалась на границе устойчивости.