Доверительные интервалы

 

Для того чтобы оценить достоверность оценок, вводят понятие доверительный интервал и доверительная вероятность.

(2.7)

Доверительный интервал для математического ожидания определяется по формуле (2.7):

 

 

где  – математическое ожидание генеральной совокупности;

 - доверительная вероятность;

 - оценка математического ожидания;

(2.8)

 - величина доверительного интервала, вычисляется по формуле (2.8):

где  - квантиль нормального распределения, получается обратным интерполированием из таблицы для функции распределения стандартного нормального закона. Вычисляется по формуле (2.9).

 

(2.10)

(2.9)

 

 - оценка дисперсии, вычисляется по формуле (2.10).

 

 

Доверительный интервал для дисперсии определяется по формуле (2.11).

 

(2.12)

,

 

где  – дисперсия генеральной совокупности;

 – оценка дисперсии.

 – квантиль нормального распределения.

Оценка стандартного отклонения в зависимости от закона распределения случайной величины имеет различное значение.

Для нормального закона распределения эта величина будет равна:

 

Для равномерного:

 

 

Ниже в таблицах 2.10-2.21 приведены доверительные интервалы математического ожидания исследуемых выборок.

-точный метод

 

Таблица 2.10 - Доверительные интервалы для СВ ,

	15,378	17,130
	15,207	17,301
	15,053	17,455
	14,739	17,769
	14,481	18,027

 

-грубый метод

 

Таблица 2.11 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,376	17,132
	15,207	17,301
	15,058	17,450
	14,753	17,755
	14,508	18,000

 

-точный метод

 

Таблица 2.12 - Доверительные интервалы для СВ ,

	15,811	16,566
	15,738	16,639
	15,673	16,704
	15,542	16,835
	15,408	16,940

 

-грубый метод

 

Таблица 2.13 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,795	16,553
	15,722	16,626
	15,657	16,691
	15,526	16,822
	15,420	16,928

 

-точный метод

 

Таблица 2.14 - Доверительные интервалы для СВ ,

	15,677	16,224
	15,624	16,276
	15,577	16,323
	15,483	16,418
	15,447	16,565

 

-грубый метод

 

Таблица 2.15 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,729	16,283
	15,676	16,336
	15,629	16,383
	15,533	16,479
	15,456	16,556

 

-точный метод

 

Таблица 2.16 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,742	17,595
	15,561	17,775
	15,399	17,938
	15,066	18,270
	15,084	18,788

 

-грубый метод

 

Таблица 2.17 – Доверительные интервалы для СВ ,

	16,018	17,854
	15,843	18,029
	15,687	18,185
	15,369	18,503
	15,112	18,760

 

-точный метод

 

Таблица 2.18 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,583	16,396
	15,505	16,474
	15,435	16,544
	15,294	16,685
	15,177	16,837

 

-грубый метод

Таблица 2.19 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,596	16,418
	15,517	16,497
	15,447	16,567
	15,305	16,709
	15,190	16,824

 

-точный метод

 

Таблица 2.20 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,521	16,063
	15,469	16,115
	15,423	16,161
	15,329	16,255
	15,178	16,302

 

-грубый метод

 

Таблица 2.21 – Доверительные интервалы для СВ ,

	15,462	16,018
	15,408	16,072
	15,361	16,119
	15,264	16,216
	15,187	16,293

 

Длины доверительных интервалов для математического ожидания при различных уровнях доверительной вероятности приведены в таблице 2.22.

 

Таблица 2.22 – Длины доверительных интервалов

	Длина интервала
()	1,752	2,094	2,402	3,03	3,546
()	0,755	0,901	1,031	1,293	1,532
()	0,547	0,652	0,746	0,935	1,118
()	1,853	2,214	2,539	3,204	3,704
()	0,813	0,969	1,109	1,391	1,66
()	0,542	0,646	0,738	0,926	1,124

 

В таблицах 2.23 – 2.34 указаны доверительные интервалы дисперсии исследуемых выборок.

-точный метод

 

Таблица 2.23 – Доверительные интервалы для СВ ,

	25,059	32,793
	24,452	33,693
	23,926	34,524
	22,914	36,280
	22,095	37,873

 

-грубый метод

 

Таблица 2.24 – Доверительные интервалы для СВ ,

	26,084	30,950
	25,619	31,415
	25,205	31,829
	24,362	32,672
	23,681	33,353

 

-точный метод

Таблица 2.25 – Доверительные интервалы для СВ ,

	23,373	30,586
	22,807	31,426
	22,316	32,201
	21,372	33,838
	20,608	35,324

 

-грубый метод

 

Таблица 2.26 – Доверительные интервалы для СВ ,

	24,329	28,867
	23,895	29,301
	23,508	29,688
	22,722	30,474
	22,088	31,108

 

-точный метод

 

Таблица 2.27 – Доверительные интервалы для СВ ,

	22,258	29,128
	21,719	29,928
	21,252	30,666
	20,354	32,225
	19,626	33,640

 

-грубый метод

 

Таблица 2.28 – Доверительные интервалы для СВ ,

	23,169	27,491
	22,756	27,904
	22,388	28,272
	21,639	29,021
	21,035	29,625

 

-точный метод

 

Таблица 2.29 – Доверительные интервалы для СВ ,

	27,340	35,779
	26,678	36,761
	26,104	37,667
	25,000	39,582
	24,106	41,321

 

-грубый метод

 

Таблица 2.30 – Доверительные интервалы для СВ ,

	28,459	33,767
	27,951	34,275
	27,499	34,727
	26,579	35,647
	25,837	36,389

 

-точный метод

 

Таблица 2.31 – Доверительные интервалы для СВ ,

	26,575	34,777
	25,931	35,732
	25,374	36,613
	24,301	38,474
	23,431	40,164

 

-грубый метод

 

Таблица 2.32 – Доверительные интервалы для СВ ,

	27,662	32,822
	27,168	33,316
	26,729	33,755
	25,835	34,649
	25,114	35,370

 

-точный метод

 

Таблица 2.33 – Доверительные интервалы для СВ ,

	25,163	32,930
	24,554	33,834
	24,026	34,668
	23,010	36,431
	22,187	38,031

 

-грубый метод

 

Таблица 2.34 – Доверительные интервалы для СВ ,

	26,193	31,079
	25,726	31,546
	25,310	31,962
	24,463	32,809
	23,780	33,492

 

В таблице 2.35 показано изменение длины доверительного интервала для дисперсии в зависимости от объема выборки и величины доверительной вероятности.

Таблица 2.35 – Длины доверительных интервалов

	Величина интервала
()	7,734	9,241	10,598	13,366	15,778
()	7,213	8,619	9,885	12,466	14,716
()	4,322	5,148	5,884	7,382	8,590
()	8,439	10,083	11,563	14,582	17,215
()	8,202	9,801	11,239	14,173	16,733
()	7,767	9,280	10,642	13,421	15,844

 

Анализируя полученные данные можно заметить, что при увеличении уровня доверительной вероятности увеличивается величина доверительного интервала, а при увеличении объема выборки она уменьшается. Это справедливо как для доверительных интервалов математического ожидания, так и для дисперсии. [3]