Решение видоизмененным методом Эйлера

Случай 1

Пример1.  

Решение. Составляем характеристическое уравнение

                           

 

Или . Находим корни:

 

                        

 

Решение системы ищем в виде

 

         

и

          .

 

Составим систему (3) для корня  и определяем  и :

 

                 

Или

                      

 

Откуда . Полагая , получаем . Таким образом, мы получили решение системы:

            

 Составим далее систему (3) для корня  и определяем  и :

 

 

Откуда  и =1, =1. Получаем второе решение системы:

 

 

Общее решение системы будет (см (6))

 

 

 

Пример2.

 

Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы системы

 

 или

 

Находим его корни:

Составим систему (3) для корня  и определяем  и :

 

или   =>

 

Откуда . Полагая , получаем .

Таким образом, мы получили решение системы:

 

                  

 

Составим далее систему (3) для корня  и определяем  и :

 

 

Откуда  и =1, =1.

Получаем второе решение системы:

      

Общее решение системы будет

 

Пример3.

 

Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы системы

 

 

Раскрывая определитель, находим

Составим систему (3) для корня

 

одно из которых - следствие двух других. Возьмем, например, первые два уравнения:

                       

 

Отсюда

 

 

Приняв k=1/4,получаем собственный вектор (2;1;-2).

При λ=2 имеет систему

 

 

Используя первые два уравнения (третье – их следствие), находим

 

 

Полагая k=1, находим собственный вектор (7;3;-8).

При λ=3 имеет систему

 

 

Из последнего уравнения находим  Подставляем это значение p₁ в первое уравнение и находим  Приняв получаем  т.е. собственный вектор (3; 1; -3).

Фундаментальная система решении:

 

 

Общее решение записываем в виде

 

 Случай 2. 

 

Пример 1.

 

Решение. Составляем характеристическое уравнение

 

или  

 

 и находим его корни:

Подставляем  в систему (3) и определяем  и :

 

    или     

 

Откуда . Полагая , получаем .

Пишем решение (7):

 

 

Подставляя  в систему (3), находим:

 

.

Получим вторую систему решений (8):

 

 

Перепишем решения:

 

или

 

За системы частных решений можно взять отдельно действительные части и отдельно мнимые части

 

            

 

Общим решением системы будет

 

 

 

Пример 2.

 

Решение. Составляем характеристическое уравнение

 

или

                                                                        

Характеристические числа: λ₁=1, λ₂=i, λ₃= - i.

При λ₁=1 для определения собственного вектора получаем систему уравнений

 

 

Эта система определяет собственный вектор (1; 1; 0).

При λ₂=i получаем систему уравнений

 

 

Эта система определяет собственный вектор (1; i; 1-i).

При λ₃= - i получаем систему уравнений

 

Эта система определяет собственный вектор (1; -i; 1+i).

Значению λ₁=1 соответствуют решения

Значению λ₂=i соответствуют решения

 

Значению λ₃= - i соответствуют решения

 Отделяя действительные части, получим решения

 до решать

 

 Случай 4. 

Пример 1.

Решение. Характеристическое уравнение

Имеет единственный корень λ=2 (кратности 2). Ему соответствует единственный собственный вектор

 

 

Поэтому решение в этом случае будем искать в виде

 

 

Подставляя выражения для y₁ и y₂  в исходную систему, находим

 

 

Отсюда получаем систему

 

Решая её, находим

 

                      

 

Где P₁, P₂ – произвольные постоянные. Таким образом, общее решение системы имеет вид

 

 

 

 Пример 2.

 

Решение. Составим характеристическое уравнение системы

 

 

Раскрывая определитель, получаем

Данное уравнение после несложных преобразовании принимает вид

 

Отсюда находим:  (простой корень), ему соответствует собственный вектор

 

 и  (корень кратности 2), которому соответствуют два линейно независимых собственных вектора

 

 

Следовательно, общее решение системы имеет вид