Решение системы уравнений Кирхгофа методом Крамера

УСТАНОВИВШИЙСЯ РЕЖИМ В ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА

И 2.1

Определение 1. В электрической цепи с источниками постоянного тока или постоянного напряжения спустя некоторый промежуток времени после ее включения (или какого-либо переключения в ней) устанавливаются постоянные токи. Говорят, что в цепи наступает установившийся режим.

 

И 2.2

Определение 2. В течение промежутка времени, предшествующего установившемуся режиму, в цепи происходит переходной процесс, токи изменяются с течением времени.

Комментарий к определениям. Система уравнений Кирхгофа, описывающая установившийся режим в цепи постоянного тока, принципиально отличается от уравнений, описывающих переходный процесс.

Когда через идеальную катушку протекает постоянный ток, напряжение на ней равно нулю:

.

Идеальная катушка в цепи постоянного тока эквивалентна элементу с нулевым сопротивлением (проводу без сопротивления).

Когда к конденсатору приложено постоянное напряжение, ток через него не протекает:

.

Конденсатор в цепи постоянного тока эквивалентен элементу с бесконечно большим сопротивлением (разрыву ветви, в которую он включен).

Идеальные катушки не влияют на величину протекающих через них постоянных токов. Через ветви с конденсаторами постоянные токи не протекают, эти ветви можно исключить из схемы замещения. Говорят, что конденсаторы и идеальные катушки не влияют на распределение постоянных токов в цепи. Схема замещения цепи постоянного тока содержит только резисторы и идеальные источники электрической энергии. Система уравнений Кирхгофа для линейной цепи постоянного тока в установившемся режиме представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Система уравнений, описывающая переходный процесс, обычно содержит производные искомых токов и напряжений.

 

РАСЧЕТ ТОКОВ ПО ЗАКОНАМ КИРХГОФА

Решение системы уравнений Кирхгофа методом Крамера

Пример, иллюстрирующий метод расчета. Рассмотрим конкретную электрическую цепь (рис. 1), выберем в ней систему координат, необходимую для расчета токов (направления токов, независимые узлы, независимые контуры и направления их обхода). Запишем в этой системе координат уравнения Кирхгофа.

Рис. 2.1. Электрическая цепь постоянного тока (пример)

 

Если система уравнений составлена правильно, ее определитель не равен нулю. В рассматриваемом примере

Система уравнений имеет единственное решение

где  - определитель, который получается из определителя  заменой его -го столбца столбцом свободных членов. В частности,

Раскроем определитель  по элементам третьего столбца, содержащего параметры источников:

В фигурных скобках заключены алгебраические дополнения определителя , умноженные на параметры источников.

Вычислив алгебраические дополнения, получаем

 

И 2.3

Вывод. Каждый источник вносит свой вклад в ток любой ветви. Вклад каждого источника пропорционален его ЭДС (или току, если речь идет об идеальном источнике тока) и зависит от конфигурации и сопротивлений цепи.

Предостережение. В принципе, методом Крамера можно решить систему уравнений Кирхгофа для любой цепи постоянного тока, однако для расчета токов этот метод практически не используется. Вычисление определителей – это самый нерациональный по числу арифметических операций прием решения линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера находит применение только в теории линейных систем, где он позволяет найти решение ряда задач в общем виде.

Рекомендация. В теории электрических цепей разработаны более рациональные методы расчета токов, чем решение системы уравнений Кирхгофа. Однако, в тех случаях, когда исследуемая цепь не очень сложна, можно не заботиться о выборе рационального метода и решить систему уравнений Кирхгофа.