Формальное решение системы уравнений Кирхгофа

И 2.4

В общем случае решение системы уравнений Кирхгофа можно представить в следующем виде

. (2.1)

Здесь - число ветвей электрической цепи, в которых протекают искомые токи ; - число источников тока в цепи, они имеют номера от до ; коэффициенты и представляют собой отношения соответствующих алгебраических дополнений определителя системы к величине этого определителя. Значения этих коэффициентов зависят от сопротивлений и способа соединения элементов цепи. В первой сумме формулы (2.1) необязательно содержится слагаемых; в некоторых ветвях может не быть источников ЭДС, в них равны нулю, и соответствующие им слагаемые также равны нулю.

Примечание к формуле (2.1). Она называется формальным решением системы уравнений Кирхгофа потому, что дает только общий вид решения. Нужно еще найти способ определения коэффициентов и . Вычисление этих коэффициентов через определители, которое было упомянуто выше, нерационально.

ВХОДНЫЕ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ПРОВОДИМОСТИ

И 2.5

Пусть в электрической цепи имеется один источник ЭДС и нет источников тока. Согласно формуле (2.1) ток в любой ветви пропорционален ЭДС источника

Предполагается, что источник включен в -ю ветвь (рис. 2.2).

И 2.6

Определение 1. Коэффициент пропорциональности между током

-й ветви и ЭДС

-й ветви называется передаточной (взаимной) проводимостью между

-й и

-й ветвями (

)

. (2.2)

Рис. 2.2. Определение входной и передаточных проводимостей -й ветви

Если ток определяется в той же ветви, в которую включена ЭДС (рис. 2.2), то согласно формуле (2.1)

И 2.7

Определение 2. Коэффициент пропорциональности между током

-й ветви и ЭДС, включенной в эту ветвь, называется входной (собственной) проводимостью

-й ветви

. (2.3)

И 2.8

Ветвь, в которую включается источник, (на рис. 2.2

-я ветвь) называется входной ветвью цепи. Ток в этой ветви называется входным током цепи (точнее, входным током двухполюсника, подключенного к источнику).

И 2.9

Определение 3. Коэффициент пропорциональности между напряжением на пассивном двухполюснике и его входным током называется входным (эквивалентным) сопротивлением двухполюсника

И 2.10

Следствие из определений 2 и 3. Входное сопротивление двухполюсника обратно пропорционально входной проводимости

Предостережение. Не следует путать входное сопротивление сложного двухполюсника с сопротивлением резистора , включенного во входную ветвь (рис.2.2). Только в простейшем случае, когда двухполюсник состоит только из одного резистора , величины и совпадают.

2.4. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПО ТОКУ

И 2.11

Пусть в электрической цепи имеется один источник тока и нет источников ЭДС. Согласно формуле (2.1) ток в любой ветви пропорционален току идеального источника тока

Ветви с источником тока присвоен номер (рис. 2.3).

И 2.12

Определение. Коэффициент пропорциональности между током

-й ветви и током идеального источника тока, включенного в

-ю ветвь, называется передаточным коэффициентом по току между

-й и

-й ветвями

. (2.4)

Рис.2.3. Определение передаточного коэффициента по току

Комментарий к определениям И2.6, И2.7, И2.12. Передаточные и входные проводимости, а также передаточные коэффициенты любой цепи могут быть выражены через определитель системы уравнений Кирхгофа и его алгебраические дополнения. Практически проще задать источник в одной ветви и, рассчитав токи в других ветвях, вычислить передаточные проводимости (или передаточные коэффициенты) с помощью их определений. Формулы (2.2), (2.3) и (2.4) можно рассматривать как определения коэффициентов в формальном решении системы уравнений Кирхгофа (2.1).

ПРИНЦИП НАЛОЖЕНИЯ

Формальное решение системы уравнений Кирхгофа (2.1)