2020-04-20
146
Определение 1. Будем говорить, что события 
образуют полную группу событий, если:
1. событие 
– достоверное;
2. события 
и 
– попарно несовместные 
.
Утверждение. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1
.
Пример. Студент на экзамене может получить одну из четырех оценок: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно» и «неудовлетворительно». События 
– получил «отлично», 
– получил «хорошо», 
– получил «удовлетворительно», 
– получил «неудовлетворительно» – попарно несовместные и в сумме 
– событие достоверное, так как обязательно происходит одно из этих событий. Следовательно, события 
, , , образуют полную группу событий.
События 
и 
образуют полную группу событий. Следовательно, справедливо 
. Отсюда получаем 
.
Пример. Событие - стрелок попал в цель. Известна вероятность 
. Противоположное событие - стрелок не попал в цель.Тогда вероятность промаха 
.
Для нахождения вероятности события 
, которое может произойти при условии осуществления одного из несовместных событий , образующих полную группу, используется формула:
|
|
|
.
Эта формула называется формулой полной вероятности.
События называются гипотезами.
Пример. В урну, содержащую два шара, опущен зеленый шар. Найти вероятность того, что будет вытащен из урны зеленый шар, если равновероятны первоначальные представления о цвете шаров.
Решение. Событие – извлечен зеленый шар.
Возможны следующие гипотезы о первоначальном составе шаров:
– первоначально зеленых шаров не было в урне;
– был 1 зеленый шар;
– оба шара зеленые.
По условию задачи гипотезы равновероятны и образуют полную группу событий, следовательно, вероятность каждой из гипотез равна 
, то есть 
. Тогда условные вероятности наступления события при появлении каждой из гипотез будут соответственно равны:
.
Отсюда по формуле полной вероятности получаем:
,
Пусть событие может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу событий.
Если событие уже произошло, то вероятности гипотез 
могут быть переоценены по следующей формуле:
,
где 
.
Эта формула называется формулой Байеса.
Пример. Два автомата производят одинаковые детали, поступающие на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй 84%. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь сделана первым автоматом.
Решение. Рассмотрим событие – деталь отличного качества.
Можно составить две гипотезы:
|
|
|
– деталь сделана первым автоматом, причем 
, так как его производительность вдвое больше производительности второго автомата;
– деталь сделана вторым автоматом, причем 
.
Условная вероятность появления события при выполнении гипотезы равна 
.
Условная вероятность появления события при выполнении гипотезы 
равна: 
.
Отсюда вероятность появления события (по формуле полной вероятности) равна:
.
Тогда вероятность того, что деталь отличного качества сделана первым автоматом, по формуле Байеса равна:
.
ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
Пусть производится 
независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события в каждом испытании одна и та же, а именно равна 
. Следовательно, вероятность непоявления события в каждом испытании также постоянна и равна 
.
Часто возникает задача: вычислить вероятность того, что при 
испытаниях событие наступит ровно 
раз.
Искомая вероятность обозначается 
.
Например, символ 
означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.
Поставленную задачу можно решить с помощью формулы Бернулли:
,
где
.
Вероятности того, что в 
испытаниях событие наступит: а) менее 
раз; б) более 
раз; в) не менее раз; г) не более раз находят соответственно по формулам:
a) 
,
б) 
,
в) 
,
г) 
.
Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна 
. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
Решение. Вероятность нормированного расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна 
. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна 
.
Из условия задачи следует, что 
.
Искомая вероятность по формуле Бернулли равна:
.
