Формула полной вероятности. Формула Байеса

Определение 1. Будем говорить, что события образуют полную группу событий, если:

1. событие – достоверное;

2. события и – попарно несовместные .

Утверждение. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1

Пример. Студент на экзамене может получить одну из четырех оценок: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно» и «неудовлетворительно». События – получил «отлично», – получил «хорошо», – получил «удовлетворительно», – получил «неудовлетворительно» – попарно несовместные и в сумме – событие достоверное, так как обязательно происходит одно из этих событий. Следовательно, события , , , образуют полную группу событий.

События и образуют полную группу событий. Следовательно, справедливо . Отсюда получаем .

Пример. Событие - стрелок попал в цель. Известна вероятность . Противоположное событие - стрелок не попал в цель.Тогда вероятность промаха .

Для нахождения вероятности события , которое может произойти при условии осуществления одного из несовместных событий , образующих полную группу, используется формула:

Эта формула называется формулой полной вероятности.

События называются гипотезами.

Пример. В урну, содержащую два шара, опущен зеленый шар. Найти вероятность того, что будет вытащен из урны зеленый шар, если равновероятны первоначальные представления о цвете шаров.

Решение. Событие – извлечен зеленый шар.

Возможны следующие гипотезы о первоначальном составе шаров:

– первоначально зеленых шаров не было в урне;

– был 1 зеленый шар;

– оба шара зеленые.

По условию задачи гипотезы равновероятны и образуют полную группу событий, следовательно, вероятность каждой из гипотез равна , то есть . Тогда условные вероятности наступления события при появлении каждой из гипотез будут соответственно равны:

Отсюда по формуле полной вероятности получаем:

Пусть событие может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу событий.

Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по следующей формуле:

где .

Эта формула называется формулой Байеса.

Пример. Два автомата производят одинаковые детали, поступающие на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй 84%. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь сделана первым автоматом.

Решение. Рассмотрим событие – деталь отличного качества.

Можно составить две гипотезы:

– деталь сделана первым автоматом, причем , так как его производительность вдвое больше производительности второго автомата;

– деталь сделана вторым автоматом, причем .

Условная вероятность появления события при выполнении гипотезы равна .

Условная вероятность появления события при выполнении гипотезы равна: .

Отсюда вероятность появления события (по формуле полной вероятности) равна:

Тогда вероятность того, что деталь отличного качества сделана первым автоматом, по формуле Байеса равна:

ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события в каждом испытании одна и та же, а именно равна . Следовательно, вероятность непоявления события в каждом испытании также постоянна и равна .

Часто возникает задача: вычислить вероятность того, что при испытаниях событие наступит ровно раз.

Искомая вероятность обозначается .

Например, символ означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.

Поставленную задачу можно решить с помощью формулы Бернулли:

где

Вероятности того, что в испытаниях событие наступит: а) менее раз; б) более раз; в) не менее раз; г) не более раз находят соответственно по формулам:

a) ,

б) ,

в) ,

г) .

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение. Вероятность нормированного расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна . Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна .