2020-04-20
163
Формула Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что событие появиться в 
испытаниях ровно 
раз:
.
При применении формулы учитывается, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях 
достаточно трудно.
Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, если число испытаний велико, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно.
Локальная теорема Лапласа и дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно раз в испытаниях, если число испытаний достаточно велико (приближенное равенство тем точнее, чем больше ).
Локальная теорема Лапласа.
Если вероятность 
появления события 
в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность 
того, что событие 
появится в 
испытаниях ровно раз, приближенно равна:
,
где
; 
.
Имеются таблицы, в которых даны значения функции 
,
соответствующие положительным значениям аргумента 
(см. приложение 1).
Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как 
– функция четная, то есть 
.
Пример. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании
равна 0,2.
Решение. По условию, 
.
Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
.
Вычислим определяемое данными задачи значение :
.
По таблице приложения 1 находим 
.
Искомая вероятность:
.
Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены):
.
